有多少種方法四等分一個正方形？我有無數種方法！

有多少種方法四等分一個正方形？我有無數種方法！

要将一個正方形四等分，每一塊的大小、面積和形狀完全相等，有多少種方法（如圖1所示）？

圖1 正方形

請你在腦中想想或者拿筆畫一畫，你有多少種方法，2種？3種？4種？

大部分人能想到下列三種方法，一種是将正方形分成4個小正方形，一種是連接對角線分成4個三角形，還有一種是将正方形分成4個長方形（如圖2所示）。

圖2 常用三種等分方法

這裡我加一個限定條件，就是如果兩種分法中的1等分如果可以互相重合，那麼屬于同一種分法，比如豎着将正方形分成4個長方形和橫着分成4個長方形，其中的一份可以完全重合，應該算是一種方法（如圖3所示）。

圖3 不同分法相同結果

解決問題有6種主要的方法，分别是拆分、類比、聯想、追本溯源、廣義動量定理和系統思考（如圖4所示）。

圖4 通用方法論

這次我們使用聯想的方法來解決4等分正方形的問題，聯想是一種非常有效的解決問題的方法，它幫助我們無限的擴展思維。

除了以上三種4等分正方形的方法，你還能想到多少種方法？每一種方法是受到什麼啟發來的呢？

我說我有無數種方法四等分正方形，你相信嗎？

下邊我來講解一下由聯想而獲得的幾大方法。

1）聯想到二分法

4等分正方形，我首先聯想到了二分法，二分法是一種拆分方法，用來降低問題的難度，問題的難度降低了，問題就容易解決了。我們将正方形從中間一分為二，隻需要将左邊的長方形分成完全兩個相同圖形就行，右邊按照左邊的方法解決，就獲得了4等分正方形的方法。

被豎線分成長方形之後，我們隻需要考慮如何将長方形分成兩個相同的圖形，哪些圖形可以組成長方形呢？我們可能會聯想到長方形、正方形、三角形，這樣我們就獲得了3種方法，最常用的三種分法，也可以通過二分法來獲得（如圖5所示）。

圖5 二分法等分1

稍微思考一下，我們還有聯想到2個梯形也可以組成長方形，并且梯形的斜邊可以是各種角度，這就有了無數種方法（如圖6所示）。

圖6 二分法等分成梯形

我們還可以聯想到俄羅斯方塊的L形也可以組成長方形，而L形的變化也是多樣的，也可以衍生出無數種方法（如圖7所示）。

圖7 二分法等分為L形

這些方法隻是開胃菜，我們看看下邊的方法。

2）聯想到拼圖

我們還可能聯想到拼圖，拼圖可以通過相同的小塊，拼接成各種形狀，比如4種不同顔色的小塊，拼成了一個類似正方形的形狀，我們稍微觀察一下就會發現，每種顔色凸起的地方填到凹陷的地方，就會變成正方形，并且4個小塊是完全一樣的，也就是說我們可以通過構造拼圖小塊的方式來4等分正方形（如圖8所示）。

圖8 拼圖

每個小塊的凸起正好可以填滿自己的凹陷，凸起的小塊可以是個圓形，正方形，三角形或者正方形和三角形的組合（如圖9所示）。

圖9 拼圖法四等分正方形

拼圖的凸起可以是任意形狀，這樣我們就有了無數種四分正方形的方法。

3）聯想到榫卯結構

我們還可以聯想到榫卯結構，或者問兩塊正方形的木頭是如何拼接到一起的，也會聯想到榫卯結構。有些榫卯結構的2塊木頭幾乎是完全一樣的（如圖10所示）。

圖10 榫卯結構

我們隻需要将榫卯結構的2塊木頭做成完全一樣，就獲得了另外一種四等分正方形的方法，榫卯結構的連接處可以是長方形，三角形或者其他圖形（如圖11所示）。

圖11 榫卯結構法四等分正方形

榫卯結構的連接點可以是任意個長方形、三角形或者其他形狀，這樣我們就獲得了無數種四等分正方形的方法。

4）聯想到瓷磚

正方形的東西，我們很容易就會聯想到瓷磚，幾乎每家的廁所和廚房都會有瓷磚。我們也經常會看到正方形的瓷磚中間有一個上下左右對稱的圖案（如圖12所示）。

圖12 中間對稱圖形的瓷磚

我們把中間的小圓形轉45度，然後每個小半圓和旁邊的圖形就能組合成新的圖形，而這4個圖形還是完全一樣的，這樣我們就又獲得一種四等分正方形的方法（如圖13所示）。

圖13 瓷磚法四等分正方形1

中間的圓形可以轉不同的角度，比如60度，這樣就可以組合成無數個新的圖形。中間的圖形可以是正方形或者正八邊形（如圖14所示）。

圖14 瓷磚法四等分正方形

中間的圖形隻要是上下左右對稱的圖形就行，四邊形、八邊形、十六邊形或者其他對稱圖案等等，這樣我們就得到了無數種四等分正方形的方法。

5）十字旋轉

我們發現連接對角線和分成4個小正方形的方法，都包含了一個十字，隻是十字繞中心轉得角度不同，那麼如果十字轉成其他角度，是不是也可以啊？

我們将十字旋轉不同的角度，發現獲得的四個小圖形是完全相同的，那麼十字旋轉就可以是一種四等分正方形的方法（如圖15所示）。

圖15 十字旋轉法四等分正方形

十字可以轉成無數角度，所以我們就獲得了無數種四等分正方形的方法。

6）聯想到對稱

正方形是一個上下、左右完全對稱的圖形，那麼我們是否可以利用正方形的中心點來解決四等分正方形問題呢？

我們通過正方形的中心向一邊畫1條曲線，然後這條曲線分别旋轉90度，180度和270度，這樣正方形就被分成了四份，并且是完全相同的四份（如圖16所示）。

圖16 中心對稱法四等分正方形

我們可以從正方形中心向一條邊随便的畫一天任意形狀的曲線，然後進行如上的旋轉，就能四等分一個正方形，由于曲線是由無數種形狀，我們也就有了無數種四等分正方形的方法。

7）二分法 對稱

我們也可以通過二分法和對稱組合的方式來解決四等分正方形的問題。左邊的長方形是上下、左右對稱的，有一個中心點，我們通過中心點畫一條到長方形一邊的曲線，然後這條曲線繞中心點旋轉180度，這樣長方形就被分成了2部分，并且2部分是完全相同的（如圖17所示）。

圖17 二分法 對稱四等分正方形

我們通過長方形的中心點，可以畫無數種到一邊的曲線，這樣我們就有了無數種四等分正方形的方法。

8）聯想到馬賽克

正方形也很容易聯想到馬賽克，馬賽克是由無數小正方形組成的圖形。小正方形也可以組合成各種圖形（如圖18所示）。

圖18 馬賽克

如果我們把正方形分成8×8=64個小正方形，然後我們再去研究如何組合（如圖19所示）。

圖19 分析64個小正方形

四分之一的大正方形包含16個小正方形，這些小正方形可以組合成各種形狀，另外三等分正方形也可以組合成一樣的形狀（如圖20所示）。

圖20 馬賽克法四等分正方形

這樣我們就有無數種四等分正方形的方法。因為以上的其他方法的1/4圖形都是一個完整的圖形，如果題目有這個隐含的要求，那麼馬賽克組合的方式是不可以的。

除了第八種馬賽克組合的方法有争議外，其他的其中大方法每一種都能演化出無數種四等分正方形的方法。

我們可以使用一張思維導圖來總結以上的四等分正方形的方法（如圖20所示）。

圖21 四等分正方形的思維導圖

你都聯想到了哪些四等分正方形的方法呢？

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