已知曲線y=|sin(x)|與直線y=kx (k>0)在三個點上相交，這些點的最大x坐标為α。證明:
證明：如下圖，直線y=kx與y=|sin(x)|相交有上交點，隻能是第三個點是切點。這是因為直線y=kx與第一個圓弧y=|sin(x)|相交于兩點，為第二個圓弧留下一個交點。一條直線和一個凸弧(在這種情況下，可以被認為是閉合的)隻有當兩者相切時才有一個交點。
切點的橫坐标屬于(π，3π/2)區間，其中sin(x<0。在這個區間内，給定函數等于y= - sin(x)，其導數為y ' = - cos(x)。
因此，直線的斜率k與在改點的導數- cosα相等，即k=- cosα.
而另一方面k=-sinα/α, 所以有tanα=α
利用三角學的和差化積的公式可做如下推導。
下面用基本的三角變化有：
感興趣的讀者可以思考有5個交點的情況，如下圖，方法與上面一樣：
也可以思索有7個交點的情況， 如下圖：
這道題是2009年的中國數學競賽題，難度較低。
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