中考越來越近，留給考生的複習時間也越來越少，在這個節骨眼上，很多考生都會把時間用在專題複習上面。确實，如果在中考來臨之前，能盡快吃透一些常考的熱點專題，這将會幫助考生提高數學成績，提升中考信心。

在現代數學教育理念引導之下，中考作為選拔人才的考試，其地位也越來越重要。近幾年來的中考數學試題，除了對基礎知識進行全面考查之外，同時會特别突出了對考生綜合能力的考查，因此，在全國各地很多中考數學試卷中，出現了大量内容豐富、形式多樣的能力型試題。

​如一些綜合問題會以二次函數為載體，探究由二次函數上的點能否構造成特殊的四邊形的存在性壓軸題。此類問題主要依據特殊四邊形的性質定理為基礎，同時蘊含着豐富的數學思想方法，像待定系數法、數形結合、分類讨論等思想方法是解決此類問題的關鍵。

解決這類問題的關鍵：一定要弄清函數與幾何圖形之間的内在聯系，在解題過程中将函數問題幾何化，幾何問題數量化，體現數形結合的思想。

如圖，抛物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，-5/2）三點．

（1）求抛物線的解析式；

（2）在抛物線的對稱軸上有一點P，使PA PC的值最小，求點P的坐标；

（3）點M為x軸上一動點，在抛物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐标；若不存在，請說明理由．

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​題幹分析：

（1）設抛物線的解析式為y=ax² bx c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，-5/2）三點代入求出a、b、c的值即可；

（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐标為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐标即可；

（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行讨論．

解題反思：

本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類讨論。

​以二次函數為載體、滿足某種條件的幾何圖形是否存在的問題，一直是中考數學的熱點和難點。

由二次函數上的點構成平行四邊形的存在性問題由二次函數上的點構造平行四邊形的壓軸題，往往是給了平行四邊形上的兩個頂點，另外兩個頂點中有一個在二次函數上，求二次函數上的這個頂點的坐标等。

如圖，抛物線y=x² bx c與x軸交于A、B兩點，B點坐标為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求抛物線的解析式；

（2）點P在抛物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐标和四邊形ABPC的最大面積．

（3）直線l經過A、C兩點，點Q在抛物線位于y軸左側的部分上運動，直線m經過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

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考點分析：

二次函數綜合題．

題幹分析：

（1）由B、C兩點的坐标，利用待定系數法可求得抛物線的解析式；

（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設出P點坐标，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數的性質可求得P點的坐标及四邊形ABPC的最大面積；

（3）設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC ∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐标，利用B、N兩的點坐标可求得直線m的解析式．

解題反思：

本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、二次函數的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質等．在（2）中确定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關鍵，在（3）中确定出滿足條件的直線m的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特别是第（2）問和第（3）問難度較大。

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如圖，抛物線y=ax² bx經過點A（﹣4，0）、B（﹣2，2），連接OB、AB，

（1）求該抛物線的解析式．

（2）求證：△OAB是等腰直角三角形．

（3）将△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135°，得到△OA′B′，寫出A′B′的中點P的坐标，試判斷點P是否在此抛物線上．

（4）在抛物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形ABOM成直角梯形，若存在，請求出點M坐标及該直角梯形的面積，若不存在，請說明理由．

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​考點分析：

二次函數綜合題；綜合題。

題幹分析：

（1）将A（﹣4，0）、B（﹣2，2）代入抛物線解析式y=ax² bx，列方程組求a、b的值即可；

（2）根據所求抛物線解析式求抛物線的頂點坐标，判斷三角形的形狀；

（3）根據△OAB的形狀，旋轉方向，旋轉角，畫出圖形，可求A′、B′的坐标，根據中點坐标公式求P的坐标，代入抛物線解析式進行判斷；

（4）存在．過點O，作OM∥AB交抛物線于點M，根據△OAB為等腰直角三角形，可求直線OM的解析式，與抛物線解析式聯立，可求M點坐标，同理，過點A，作AM′∥OB交抛物線于點M′，聯立方程組可求M′的坐标，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據梯形面積公式求解．

解題反思：

本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求抛物線解析式，根據解析式确定圖形的特殊性。

從近幾年的試題分布情況來看，解決二次函數與四邊形有關的存在性問題，它的一般解題步驟可以歸納如下：

一是假設其存在，畫出相應的圖形;然後根據所畫圖形進行解答，得某些結論；二是如果結論符合題目要求或是定義定理，則假設成立；三是如果出現與題目要求或定義定理相悖的情況，則假設錯誤，所設不存在。

以二次函數相關知識定理為命題背景，探究由二次函數上的點構造特殊四邊形的壓軸題，一直是中考數學的重難點，考生在複習階段，一定要加以重視。

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