如何推廣很多我們熟知的無窮級數？回想一下幾何級數：
這個級數隻在x的絕對值小于1時收斂。
還要注意，如果兩邊同時減去1，就得到：
設0 < r < 1，則代入複指數如下：
如果在兩邊對x積分，我們會得到右邊的級數它推廣了調和級數（除了r），因為我們需要級數收斂而存在。
如果我們使用歐拉公式我們可以把複指數變換成它的三角實部和複部，通常的技巧是分子和分母乘以分母的複共轭來分離實部和複部。
當我們這樣做的時候，我們得到：
如果我們對x積分，然後對級數做同樣的運算，我們得到以下結果：
現在到了有趣的部分。注意，在左邊，如果我們讓r→1，并把它分成實部和複部，那麼對于x的特定值具有收斂性。
因此，讓r→1，兩邊同時乘以2πi，得到：
這在0<x<1時成立。
這裡我們用了sin的倍角公式。
我們用歐拉恒等式展開左邊的級數。然後我們有兩個公式。對于正弦級數，我們得到：
将x=1/2代入這個公式，得到常數項π/2。我們現在可以表述我們新發現的公式：
在正弦公式中，如果我們設x = 1/4，我們得到交替級數 1 - 1/3 1/5 - 1/7 ⋅⋅⋅ = π/4，這是一個非常著名的公式。它讓我們以一種非常簡單的方式來近似π，當然，這是令人驚訝的，因為在這個級數中沒有圓出現。
在餘弦公式中，如果我們令x = 1/2，我們得到t 1 - 1/2 1/3 - 1/4 ⋅ ⋅ ⋅ = ln(2)。這是另一個著名的結果。這個級數叫做交替調和級數。
如果在餘弦級數中設x = 1/4會怎樣？然後我們得到：
看看公式是否一緻。
如果我們把x = 1/4代入右邊的表達式，我們得到：
這當然與上面的一緻。
我們可以用歐拉恒等式把這兩個公式放到一個公式裡。得到：
在我看來，這是一個非常神奇的公式！
但這還不是全部。
如果我們對sin級數對x積分，有趣的事情就發生了。
讓我們試一試。
請注意，這是一個著名的巴塞爾問題（1650年提出），歐拉在1734年解決了它。
總結一下結果：
注意，即使x = 0或x = 1也是正确的。然而，它在這個區間之外并不成立。另外，請注意餘弦函數的對稱性表現為從0到1的抛物線x（x-1）的對稱性。
這種方法可以推廣到黎曼ζ函數的其它特殊值。不幸的是，對餘弦級數公式的右邊積分有點困難，但這并不意味着我們不能用這種方法進行分析。
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