作者：大神團·張通

作者介紹：張通，新東方超尖生計劃授課老師，北京大學力學系理論與應用力學專業學士。初中三年均獲全國初中數學聯賽一等獎，全國初中物理競賽一等獎，全國初中化學競賽一等獎，全國高中數學聯賽一等獎，全國中學生物理競賽二等獎，全國高中生物競賽三等獎。

數論被譽為數學的王冠，而素數（prime）無疑是數論中最重要最富有神秘色彩的一些數。無論是數學王冠上的明珠——哥德巴赫猜想，還是世界七大數學難題之一的黎曼猜想，亦或是其他種種與數論相關的猜想，無一例外地，需要用到素數來證明。

在所有素數定理中，最重要的也是最漂亮的定理就是：如何證明素數有無窮多個。

雖然曆史上有很多數學家都給出了自己的證明，但這次，我們隻介紹最具有曆史意義和借鑒價值的三種證明方法。

下文為了叙述方便又不失一般性，故無特殊說明外，默認所設變量均為正整數，所指概念均為正數，如偶數、奇數、因（約）數均指正偶數、正奇數、正因（約）數。

我們把正整數按因（約）數個數分成三類：

隻有一個因數——1；

隻有兩個因數——質數（也叫素數）；

有三個及以上個因數——合數。

按定義可知，除了2以外的所有偶數都是合數，則顯然合數有無窮多個。

然而質數是否有無窮多個，并不顯然。

但這個問題并沒有困擾人們很久，早在公元前二百多年，古希臘數學家歐幾裡得（Euclid）就在其著作《幾何原本》第九章命題20給出證明，這是記載中第一位對質數有無窮多個給出嚴謹證明的人。

歐幾裡得也被喻為“幾何之父”，其著作《幾何原本》創立了平面幾何論證體系，所以原定理是通過幾何的形式來論證的，這裡我們把它用代數的形式翻譯下。

定理的第一個證明——歐幾裡得提供

這種證法利用了極端性原理，開創了證明無窮性問題的先例。

之後來到十七世紀，一位對數論做出巨大貢獻的業餘數學愛好者——費馬（Fermat）（也被人稱為業餘數學家之王），提出一種構造無窮質數的方法，後世稱為費馬數，即

費馬發現，該數列前5項均為質數，于是斷言該數列均為質數，因為F5太大了，當時也沒有人提出異議。

雖然這種構造方式失效了，但費馬數的意義沒有失去，近一百年後，哥德巴赫Goldbach，沒錯，就是哥德巴赫猜想的提出者，給出了一種利用費馬數性質來證明質數有無窮多個的方法。

定理的第二個證明——哥德巴赫提供

利用費馬數兩兩互質的性質

對于任意非負整數m,n，不妨設m<n

注意到

這就完成了費馬數兩兩互質的證明。

由于有無窮多個費馬數，而每一個費馬數的質因子各不相同（否則這兩個費馬數有共同的質因子，就不互質），故存在無窮多個質數。

從上面的例子我們看出，雖然費馬用費馬數來構造質數的方法“翻車了”，但後人卻利用費馬數完成了各式各樣其他的證明，直到現在，費馬數在數論中的價值仍是非凡的。

所以大家不要害怕失敗，這次的失敗說不定就是下次成功的基石呢。

那麼第三種證明就跟我們數學界排行榜第一名的數學家有關了。

對了，就是歐拉（Euler）。作為數學各分支都精通的人來說，數論中關于質數有無窮多個的證明，自然是不會放過。

不過歐拉選擇自己最擅長的方法——級數構造來完成證明的。

定理的第三個證明——歐拉提供

這個證明要用到算術基本定理（唯一分解定理），我們先做簡單說明

對于任意一個大于1的整數N，一定可以唯一表示成

這個定理的證明是歐幾裡得最先給出的，我們這裡就不證明了。

既然要證明質數的無窮性，那就需要對應一個發散的級數，于是歐拉選擇了調和級數。

我們可以利用

來說明調和級數發散，即n趨于無窮大，該求和值也趨于無窮大。

接下來歐拉構造了這樣一個左右兩邊都各有無窮多項的等式

注意到左邊每一項均對應右邊唯一的一個分解的乘積，當然右邊任意一個乘積都能唯一得到左邊的某一項，如

這表示左邊每一項和右邊每一種組合乘積是一一對應，于是左右兩邊相等。左邊是無窮大，右邊也必須是無窮大。

因為不同的括号代表不同的質數，所以質數有無窮多個。

這種利用分析手段來證明的想法，給其他數學家提供了新的思路，從而開啟了用高等方法證明的大門。

作者介紹：張通，新東方超尖生計劃授課老師，北京大學力學系理論與應用力學專業學士。初中三年均獲全國初中數學聯賽一等獎，全國初中物理競賽一等獎，全國初中化學競賽一等獎，全國高中數學聯賽一等獎，全國中學生物理競賽二等獎，全國高中生物競賽三等獎。新東方智慧學堂（zhihuixuetang_xdf），與精英為伍，成就未來精英。

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