直角三角形斜邊中線題型-tft每日頭條

直角三角形斜邊中線題型

生活更新时间:2025-01-11 11:53:20

大家好，這裡是周老師數學課堂，歡迎來到頭條号學習！

我們在學習矩形時，有一個性質:“矩形的對角線相等且相互平分”。根據這一性質的推論得出:“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”。

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）1

直角三角形斜邊上的中線将直角三角形分成兩個共腰的等腰三角形，無論是作邊的轉化，還是作角的轉化都十分便利，所以“遇直角三角形，想斜邊上的中線”是作輔助線常用的思路。

今天我們就分享這個性質的在解題的作用和運用方法，還是先看例題吧。

例:已知，在如圖所示的平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，EF丄AC,點O是垂足，EF分别交AB，CD于點E，F，BE=OE=½AE.求證:♢ABCD是矩形。

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）2

證明:如圖，取AE的中點G，連接OG.在Rt△AOE中，OG=½AE=AG

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）3

OE=BE=½AE，

∴OE=OG=AG=BE.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∴△AGO≌△BEO(SAS).

∴OA=OB.

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD.

∴♢ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)。

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）4

[題幹分析]

本題的難點在于如何應用“BE=OE=½AE”這一條件，由EF丄AC，知△AOE為直角三角形，作AE上的中線OG，則OG=½AE=OE，餘下的工作就是證AO=BO，問題即可解決。

[解題反思]

上題在解答時作的輔助線，就是充分利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質，然後根據已知條件，通過邊角轉換，利用三角形的全等性質，得出對角線的一半相等，最後根據矩形的判定定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形，解決求證問題。

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）5

那麼把直角三角形斜邊上的中線性質進行拓展，得出3個延伸的解題思路:

⑴ 直角三角形斜邊上的中線的性質的逆命題也是真命題，即如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形.⑵ 此性質與直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半都是證明線段倍分關系的重要依據，但後者隻在特殊直角三角形中才有，而斜邊上的中線等于斜邊的一半适用于所有直角三角形，更具有一般性。⑶ 直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，這兩個等腰三角形的面積相等。在直角三角形中出現中點，易從三角形中位線和斜邊上的中線定理考慮即為解題思路。

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）6

所以，我們在解題時要準确把握圖形特征，恰當地構造直角三角形斜上的中線，利用好以上性質，幫助我們更快解決綜合題型。

今天的分享就到這裡，歡迎大家在評論區留下您的思路，讓我們共同讨論，也許您的方法是最棒的。喜歡文章記得分享哦！

直角三角形斜邊中線題型（直角三角形斜邊上的中線性質）7

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