提要

化歸轉化是數學解題的一種極其重要的數學思想，貫穿了數學解題與數學研究的始終。初中數學裡，運用化歸轉化的數學思想處理問題的例子比比皆是。例如，通過去分母把分式方程轉化為整式方程求解，通過将把一元二次方程轉化為一元一次方程求解，通過消元把三元一次方程組或二元一次方程組轉化為一元方程求解，通過換元把複雜的問題轉化為簡單的問題求解……顯然，“轉化”揭示了解題的本質。

知識全解

一、化歸轉化思想的概念

在解答某一個難以入手或希望尋求簡捷解法的數學題時，我們的思維就不應停留在原題上，而将原題轉化為另一個比較熟悉、比較簡易的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的，這就是解答數學題的化歸轉化思想。

化歸轉化的實質是把新知識轉化為舊知識，把未知轉化為已知，把複雜問題轉化為簡單問題。當我們遇到一個較難解決的問題時，不是直接解原題目，而是将題進行轉化，轉化為一個已經解決的或比較容易解決的數學題，從而使原題得到解決。

二、解題策略

應用轉化思想要注意以下幾點：①轉化後的問題要比原問題更容易、更簡單；②轉化後的問題應該是己知數學的問題，這樣才有利于應用已有的知識與經驗解決問題；③轉化是有條件的，如解方程時要防止轉化後出現增根或失根等。

在平時的學習中，要善于觀察，挖掘數學問題的内在聯系，要注意知識間的聯系與演變，不斷開拓思路，不斷收集，積累聯想，轉換的實例，把新知識與認識結構中已有的知識建立起實質性的聯系。隻有這樣才能合理，快速，準确地進行轉化“巧妙”才能顯得自然。

經典例題

類型1 高次向低次的轉化

類型2 多元轉化為一元

例2 若x:y:z=1:2:3,且3x 4y-5z=16,則x-3y 2z的值是多少？

【解析】設x=k，則y=2k,z=3k，代入3x 4y-5z=16得3k 8k-15k=16,解得k=4。

從而x= -4，y=-8，z=-12

∴x-3y 2z= -4-3×(-8) 2×(-12)= -4

【點評】解決有關連比的問題時，常見的思路是設其中的一份為k,然後用k替換題目中的未知數，從而把多元問題轉化為一元問題獲得解答，

類型3特殊與一般的轉化

例3 如圖（1）所示，正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖（2）最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1___S2(用“>”,“<”或“=”填空)

【解析】把圖(1)中的陰影部分沿對角線OD對折，則兩個陰影拼在一起組成矩形ACDF,因為正方形OCDE的邊長為1，所以正方形的對角線長√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把圖(2)中的陰影部分通過旋轉即可拼在一起組成1/4圓，故S2=π/4。所有S1<S2。

【點評】本題通過将圖形（或部分）進行旋轉或翻折，使圖形特殊或圖形的位置特殊，進而簡捷求解．

類型4 分散轉化為集中

例4 如圖所示，在反比例函數，y=2/x(x>0)的圖象上，有點P1、P2、P3、P4，它們的橫坐标依次為1、2、3、4，分别過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1、S2、S3，則S1 S2 S3=____

【解析】由題意及圖象可知，3個陰影長方形的長都為1，設P1(1，y1)，P2(2,y2),P3（3，y3），P4(4，y4),代入y=2/x(x>0)可求得y1=2, y2=1，y3=2/3,y4=1/2，所以S1 S2 S3=1×(y1-y4)=1×(2-1/2)=3/2

【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質，把分散的帶陰影的幾何圖形集中起來，問題便迎刃而解了。

真題演練

例1 利用化歸轉化思想求立體圖形表面兩點間的最短距離問題

如左圖所示，圓柱形容器高18cm．底面周長為24cm，在杯内壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時已知螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻從外壁A處到達内壁B處的最短距離為____cm

【點評】本題考查圓柱的側面展開圖，軸對稱以及勾股定理的應用。關鍵是在長方形上找出螞蟻行走的路徑，通過“化曲面為平面”，據“兩點之間線段最短”得出最短路徑，然後構造出直角三角形，利用勾股定理進行解決。

例2 利用化歸轉化思想求圓中陰影部分面積問題

如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60度，以點B為圓心的圓與AD,DC相切，與AB、CB的延長線分别相交于點E,F，則圖中陰影部分的面積為（）

A．√3 π/2 B．√3 π C．√3-π/2 D.2√3 π/2

【點評】求圓中陰影部分的面積一般都通過轉化，将不規則的陰影部分轉化為規則圖形的面積和（或差）．

例3利用化歸轉化思想解決動态問題

如圖1所示，形如量角器的半圓O的半徑OE=3cm，形如三角闆的△ABC中∠ABC=90度，AB=BC=6cm，△ABC以2cm/s的速度從左向右勻速運動（點B運動到E點時，運動停止），在運動過程中，點A、B始終在直線DE上，設運動時間為t (s)，當t=0時，△ABC在半圓O的左側，BD=1cm。

【解析】(1)由題意可得：BO=4cm,t =4/2=2 (s)

(2)如圖2所示，設AC切半圓O于點H，連接OH,則OH⊥AC

∵∠A=45度，∴AO=√2OH=3√2(cm)

∴AD=AO-DO=3√2 -3 (cm)

(3)如圖3所示，連接EF.

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD

∵DE為直徑，

∴∠ODF ∠DEF=90度，∠DEC=∠DEF ∠CEF=90度

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG

又∵∠ FCG=∠ECF,

∴△CFG∽△CEF，∴CF/CG=CE/CF

【點評】解決動态問題的一般思路是“動靜轉化---動中取靜，以靜制動”。

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