矩陣乘法是線性代數課程中遇到的第一個比較複雜的運算,由于它是多個數的同時運算,故其具有衆多不同于數的運算的特殊的性質。
因為矩陣乘法不具有交換律,故衆多對數成立的公式,對矩陣卻不成立。例如
但若矩陣A、B乘法滿足交換律,則一般的公式都成立。例如,若AB=BA,則
那麼矩陣乘法的交換律成立,與這些公式成立之間是什麼關系?是充分條件、必要條件還是充分必要條件?
1、
一方面,若AB=BA,則
另一方面,若我們無法保證AB=BA。例如,對如下矩陣
有但
故上述兩個等式成立不是充分必要條件。
但如果再加一個條件:A、B均為可逆矩陣,則由可得AB=BA。這是因為
2、
一方面,很容易驗證,若AB=BA,則有
另一方面,若則
從而有AB=BA。
故兩個等式成立為充分必要條件。
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