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線性代數矩陣的除法

圖文 更新时间:2024-09-01 13:54:05

矩陣乘法是線性代數課程中遇到的第一個比較複雜的運算,由于它是多個數的同時運算,故其具有衆多不同于數的運算的特殊的性質。

因為矩陣乘法不具有交換律,故衆多對數成立的公式,對矩陣卻不成立。例如

但若矩陣A、B乘法滿足交換律,則一般的公式都成立。例如,若AB=BA,則

那麼矩陣乘法的交換律成立,與這些公式成立之間是什麼關系?是充分條件、必要條件還是充分必要條件?

線性代數矩陣的除法(矩陣乘法交換律)1

1、

一方面,若AB=BA,則

另一方面,若我們無法保證AB=BA。例如,對如下矩陣

有但

故上述兩個等式成立不是充分必要條件。

但如果再加一個條件:A、B均為可逆矩陣,則由可得AB=BA。這是因為

2、

一方面,很容易驗證,若AB=BA,則有

另一方面,若則

從而有AB=BA。

故兩個等式成立為充分必要條件。

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