相似三角形的判定教案?比例線段對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．，接下來我們就來聊聊關于相似三角形的判定教案?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

相似三角形的判定教案

比例線段

對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

下面四組線段中，成比例的是（　　）

A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4

C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a，b，c＝3，d

【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．

【解析】A、2×5≠3×4，故選項錯誤；

B、1×4＝2×2，故選項正确；

C、4×10≠5×6，故選項錯誤；

D、3，故選項錯誤．選B．

【小結】此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統一．

已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，則d的長度為（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm

【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據成比例線段的定義計算即可．

【解析】因為a，b，c，d是成比例線段，

可得：dcm，選A．

【小結】此題考查了成比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握比例線段的定義．

若a是2，4，6的第四比例項，則a＝　 　；若x是4和16的比例中項，則x＝　 　．

【分析】根據第四比例項的概念，得2：4＝6：a，則a可求；

根據比例中項的概念，得x2＝4×16，則x可求．

【解析】∵a是2，4，6的第四比例項，∴2：4＝6：a，∴a＝12；

∵x是4和16的比例中項，∴x2＝4×16，解得x＝±8．

【小結】考查了比例線段，此題的重點是理解第四比例項、比例中項的概念，根據概念正确寫出比例式．

已知四條線段a，3，a 1，4是成比例線段，則a的值為　 　．

【分析】根據對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

【解析】∵四條線段a，3，a 1，4是成比例線段，

∴a：3＝（a 1）：4即3（a 1）＝4a，解得a＝3．

【小結】本題考查了比例線段，解決本題的關鍵是掌握比例線段的定義．

黃金分割

黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中ACAB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．

在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那麼點C叫做線段AB的黃金分割點．若點P是線段MN的黃金分割點，當MN＝1時，PM的長是　 　．

【分析】分PM＞PN和PM＜PN兩種情況，根據黃金比值計算．

【解析】當PM＞PN時，PMMN，

當PM＜PN時，PM＝MNMN，故答案為：或．

【小結】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關鍵．

如果點C是線段AB的黃金分割點，那麼下列線段比的值不可能是的為（　　）

A． B． C． D．

【分析】根據把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比作出判斷．

【解析】∵點C是線段AB的黃金分割點，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），

則；或BC2＝AB•AC（AC＜BC），

則．故隻有的值不可能是．選D．

【小結】此題主要考查了黃金分割比的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．

如圖，已知點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，若S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩餘的面積，則S3：S2的值為（　　）

A． B． C． D．

【分析】根據黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中ACAB，進行計算即可．

【解析】如圖，設AB＝1，

∵點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，

∴AE＝GF，∴BE＝FH＝AB﹣AE，

∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（）：（1）．選A．

【小結】本題考查了黃金分割、矩形的性質、正方形的性質，解決本題的關鍵是掌握黃金分割定義．

古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G将一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項，即滿足，後人把這個數稱為“黃金分割”數，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是邊BC的兩個“黃金分割”點，則△ADE的面積為（　　）

A．10﹣4 B．35 C． D．20﹣8

【分析】作AH⊥BC于H，如圖，根據等腰三角形的性質得到BH＝CHBC＝2，則根據勾股定理可計算出AH，接着根據線段的“黃金分割”點的定義得到BEBC＝22，則計算出HE＝24，然後根據三角形面積公式計算．

【解析】作AH⊥BC于H，如圖，

∵AB＝AC，∴BH＝CHBC＝2，

在Rt△ABH中，AH，

∵D，E是邊BC的兩個“黃金分割”點，∴BEBC＝2（1）＝22，

∴HE＝BE﹣BH＝22﹣2＝24，∴DE＝2HE＝48

∴S△ADE（48）10﹣4．選A．

【小結】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中ACAB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質．

比例的基本性質

解決此類問題通常利用設k法即可有效解決，注意方程思想以及分類讨論思想的靈活運用.

已知：a：b：c＝2：3：5

（1）求代數式的值；

（2）如果3a﹣b c＝24，求a，b，c的值．

【分析】（1）根據比例設a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然後代入比例式進行計算即可得解；

（2）先設a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然後将其代入3a﹣b c＝24，即可求得a、b、c的值．

【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，

∴設a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則1；

（2）設a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則6k﹣3k 5k＝24，解得k＝3．則a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．

【小結】本題考查了比例的性質，利用“設k法”求解更簡便．

已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a b c＝12，探索△ABC的形狀．

【分析】令第一個等式等于k，表示出a，b，c，代入第二個等式求出k的值，即可作出判斷．

【解析】設k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，

代入a b c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，則△ABC為直角三角形．

【小結】此題考查了比例的性質，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．

已知k，求k值．

【分析】依據等比性質可得，k，分兩種情況讨論，即可得到k的值．

【解析】∵k，

∴由等比性質可得，k，當a b c d≠0時，k；

當a b c d＝0時，b c d＝﹣a，∴k2；

綜上所述，k的值為或﹣2．

【小結】本題主要考查了比例的性質的運用，解決問題的關鍵是掌握比例的性質．

已知a、b、c均為非零的實數，且滿足，求的值．

【分析】已知等式利用比例的性質化簡表示出a b，a c，b c，代入原式計算即可得到結果．

【解析】當a b c≠0時，

利用比例的性質化簡已知等式得：1，

即a b﹣c＝c，a﹣b c＝b，﹣a b c＝a，

整理得：a b＝2c，a c＝2b，b c＝2a，此時原式8；

當a b c＝0時，可得：a b＝﹣c，a c＝﹣b，b c＝﹣a，則原式＝﹣1．

綜上可知，的值為8或﹣1．

【小結】此題考查了比例的性質，分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

如圖，直線l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于點A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于點D，E，F；AC與DF交于點O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．

（1）求AC的長；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．

【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可．

（2）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可．

【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：AC＝12；

（2）∵l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴．

【小結】考查平行線分線段成比例定理，解題時注意：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、D、F和點B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那麼CE等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】根據平行線分線段成比例定理3，則BC＝3CE，利用BC CE＝BE＝10可計算出CE長

【解析】∵AB∥CD∥EF，∴3，∴BC＝3CE，

∵BC CE＝BE，∴3CE CE＝10，∴CE．選C．

【小結】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

如圖，在△ABC中，AD∥BC，點E在AB邊上，EF∥BC，交AC邊于點F，DE交AC邊于

點G，則下列結論中錯誤的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由AD∥EF∥BC，根據平行線分線段成比例定理可得出對應線段成比例，逐一檢查每個選項即可得出正确答案．

【解析】∵EF∥BC∴，∴答案A正确；

根據合比性質，則有 即：，∴答案D正确；

又∵AD∥EF，∴，∴答案B正确；

而，∴答案C錯誤．選C．

【小結】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應用，把握定理中對應線段成比例的“對應”兩個字是解決本題的關鍵．

已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結論中錯誤的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可．

【解析】∵DE∥BC，DH∥AC，∴四邊形DECH是平行四邊形，∴DH＝CE，DE＝CH，

∵DE∥BC，∴，故選項A正确，不符合題意，

∵DH∥CG，∴，故C正确，不符合題意，

∵DE∥BC，∴，∴，故D正确，不符合題意，

選B．

【小結】本題考查平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

相似三角形的判定

相似三角形的判定方法彙總：

1、定義法：三個對應角相等，三條對應邊成比例的兩個三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角

形與原三角形相似．

3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩

個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．

4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾

角相等，那麼這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．

5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這

兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似

如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格組成的網格，三角形的頂點均在小方格的頂點上，下列四個選項中哪一個陰影部分的三角形與已知△ABC相似（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根據網格中的數據求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可．

【解析】根據題意得：AC，AB，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，

A、三邊之比為1：：，選項A符合題意；

B、三邊之比：：3，選項B不符合題意；

C、三邊之比為2：：，選項C不符合題意；

D、三邊之比為：：4，選項D不符合題意．

選A．

【小結】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵．

在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圓規在AB上确定點D，使△ACD∽△CBD，根據作圖痕迹判斷，正确的是

（　　）

A． B． C． D．

【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂線，根據作圖痕迹判斷即可．

【解析】當CD是AB的垂線時，△ACD∽△CBD．

∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，

∵∠ACB＝90°，∴∠A ∠ACD＝∠ACD ∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．

A選項中，CD是∠ACB的角平分線，不符合題意；

B選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；

C選項中，CD是AB的垂線，符合題意；

D選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；選C．

【小結】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．

如圖，在正方形網格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（　　）

A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤

【分析】根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．

【解析】由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，

又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，選A．

【小結】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

如圖，點A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐标不可能是（　　）

A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）

【分析】利用A、B、C的坐标得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然後利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似對各選項進行判斷．

【解析】∵點A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，

當E點坐标為（4，2），而D（6，1），則CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，

∵3，∠ABC＝∠ECD，∴△ABC∽△DCE；

當E點坐标為（6，0），而D（6，1），則ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，

∵3，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC；

當E點坐标為（6，3），而D（6，1），則ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，

∵，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC與△ECD不相似；

當E點坐标為（6，5），而D（6，1），則ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，

∵，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC．

選C．

【小結】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；也考查了坐标與圖形性質．

相似三角形的性質（周長）

掌握相似三角形周長比等于對應邊的比是解題關鍵.

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那麼△ABE與△ADC的周長比為（　　）

A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．4：9

【分析】根據已知條件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根據三角形相似求得S△ACDS△ABE即可求得．

【解析】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，

∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，選B．

【小結】本題考查了相似三角形的判定和性質，不同底等高的三角形面積的求法等，等量代換是本題關鍵．

如圖，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，若BG＝8，則△CEF的周長為（　　）

A．16 B．17 C．24 D．25

【分析】先計算出△ABE的周長，然後根據相似比的知識進行解答即可．

【解析】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，

∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，

同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，

在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE周長等于10 10 12＝32，

四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，∴△CEF周長為16

【小結】本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對數學中的數形結合思想的考查，相似三角形的周長比等于相似比，難度較大．

如圖，點E是▱ABCD的邊AD上的一點，且，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE＝3，DF＝4，則▱ABCD的周長為（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42

【分析】根據平行四邊形的性質得AB∥CD，再由平行線得相似三角形，根據相似三角形求得AB，AE，進而根據平行四邊形的周長公式求得結果．

【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，

∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE DE＝6 3＝9，

∴平行四邊形ABCD的周長為：（8 9）×2＝34．選C．

【小結】考查相似三角形的判定和性質，關鍵是根據平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質解答

如圖，已知平行四邊形ABCD，點E在DC上，DE：EC＝2：1，連接AE交BD于點F，則△DEF與△BAF的周長之比為（　　）

A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3

【分析】可證明△DFE∽△BFA，根據相似三角形的周長之比等于相似比即可得出答案．

【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3． 選D．

【小結】本題考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定和性質，注：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．

相似三角形的性質（面積）

掌握相似三角形面積比是對應邊比的平方的性質是解題關鍵.

如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于點F，且S△EFC＝3S△EFD，則S△ADE：S△ABC的值為（　　）

A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4

【分析】易證△DEF∽△CBF同理可證△ADE∽△ABC，根據相似三角形面積比是對應邊比例平方即可解題．

【解析】∵S△EFC＝3S△DEF，

∴DF：FC＝1：3 （兩個三角形等高，面積之比就是底邊之比），

∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3

同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，選C．

【小結】本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面積比是對應邊比例的平方的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．

如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在DA的延長線上，且AEAD，連接CE交BD于點F，交AB于點G，則S△BGC：S四邊形ADCG的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再證明△AEG∽△BCG，利用相似的性質得到，證明△EAG∽△EDC，利用相似比得到，所以S四邊形ADCG＝15S△EAG，然後計算S△BGC：S四邊形ADCG的值．

【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，

∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴（）2＝（）2＝（）2，即S△BCG＝9S△AEG，

∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴（）2＝（）2＝（）2，即S△EDC＝16S△EAG，

∴S四邊形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四邊形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．選A．

【小結】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隐含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系；也考查了平行四邊形的性質．

如圖，D、E分别是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△DOE與S△COE的比是（　　）

A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3

【分析】通過證明△DOE∽△COA，可得（）2，可求，即可求解．

【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴（）2，∴，

∴S△DOE與S△COE的比為1：5，選B．

【小結】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的性質是本題的關鍵．

已知如圖，DE是△ABC的中位線，點P是DE的中點，CP的延長線交AB于點Q，那麼S△CPE：S△ABC＝　 　．

【分析】連結AP并延長交BC于點F，則S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，則S△CPE：S△ABC＝1：8．

【解析】連結AP并延長交BC于點F，

∵DE是△ABC的中位線，∴E是AC的中點，∴S△CPE＝S△AEP，

∵點P是DE的中點，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，

∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8

【小結】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．

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