這篇文章延期了很久，後台也有不少讀者留言私信過，今天就導數零點問題中如何找點做一次簡要的介紹，此類題目非常多，理解文章的方法邏輯并不難，熟練掌握還得多加練習，這篇文章雖然隻介紹用放縮取點法，實際上涉及了導數中所有的放縮思想，建議好好領悟，希望文章對你有幫助，文章一周之後免費，屆時重新發布一遍。

一.零點找點問題來源

簡要介紹一下問題的來源，數學中零點問題若結合參數，或考查根據零點個數求參數範圍，或讨論零點個數，通常有兩種解題思路，一是分離參數，但此時會用到極限來判斷函數區間兩端點處的函數值，這種做法在考試中會扣除兩分，二是對參數進行讨論，若确定出函數單調性後，例如函數先減後增，若保證函數有兩個零點，則最小值一定要小于零，且在極值點兩側用零點存在定理各找一個零點，由于函數中帶有參數，取點處的函數值的正負有時候并不容易确定，當然不排除根據經驗找到的點恰好能消除參數或者能判斷出函數的正負，若題目需要找兩個零點，通常其中一個根據經驗相對容易找出，而另外一個零點就需要用放縮取點法來找了。

二.放縮形式有哪些，該選用哪種放縮形式？

放縮從對所放縮的部分來說可分為整體放縮和部分放縮；從放縮精度上來說可分為精确放縮和不精确放縮，例如ex≥x 1屬于精确放縮，ex>x²就屬于不精确放縮，無論精确與否都屬于放縮；如果對函數放縮本身來講，放縮形式有三種，一是利用有界性來放縮，這種嚴格來說不屬于放縮，而是根據在給定定義域範圍下函數的範圍也可确定，例如當a>0且x∈[1,2]時，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，這種放縮是把函數放縮成具體的數字，第二種是切線放縮，其本質上屬于泰勒不等式展開形式的應用，根據ex≥x 1和lnx≤x-1這兩個基礎性的不等式可引申出很多放縮形式，第三是恒成立放縮，這其實也不能稱之為放縮，例如ex>x²。放縮是化曲為直或化曲為曲或化函數為數的過程,至于選擇哪種放縮形式并無定論，依題而定，很具有靈活性。

三.常見的指對數放縮形式

ex和lnx均有三種放縮形式，即放縮成一次函數，單增幂函數例如二次函數，單減幂函數例如反比例函數，為什麼要區分開這三種放縮形式？是因為這三種不同的放縮形式增長速率不同，單增幂函數>一次函數>單減幂函數，在函數放縮形式進行選擇時要考慮到不同函數的增長速率。

四.函數趨勢的确定

這是一個很有意思的知識點，函數在間斷點或無窮處的函數值其實是由函數中某部分起主導作用的函數決定的，例如函數中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞,n(x)→k，則m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞,n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞,n(x)→-∞，但若m(x)的增長速率遠大于n(x)減小的速率，則m(x) n(x)→ ∞

因此可把決定函數趨勢或者形态的那部分函數看作函數的主元，其餘的均為餘子式，對函數進行放縮的時候有三種放縮形式：第一種是不動主元，放縮餘子式，放縮後的新函數趨勢和原函數一緻，第二種是餘子式不能放縮，可放縮主元，但必須保證對主元放縮之後的部分依舊決定了函數的趨勢，即主元放縮之後依舊是主元，第三種較為特殊，即m(x)和n(x)在定義域的兩端點處的極限值相同，雖然兩者有速率上的差别，但兩者均可看作主元，此時對誰放縮均可，放縮後的形式越簡單越好，這是放縮取點法中很重要的部分。

五.放縮取點法的原理

原理其實很簡單，若直接找點不容易，例如在函數在極值點的右側單增，且極值點小于零，則需在極值點的右側找一個x1使得f(x1)>0,不等式f(x)>0顯然不可解，但可通過放縮将f(x)放縮成一個容易解方程的函數，即f(x)>g(x)，因為放縮後g(x)=0容易解，設為x1，根據不等關系點x1自然也滿足f(x1)>0,注意最後需證明x1在規定的定義域内。

結合上述第四點主元的判定和放縮的選擇，那麼放縮取點法就很容易了。

六.典型案例分析

其實案例1找點很容易，對數的真數為x a，因此取點時肯定取一個ek-a的形式，這樣就可以對數化為常數，如果按照放縮取點法，此時對數和反比例函數的趨勢和整體函數的趨勢相同，對哪個放縮均可，原則是越簡單越好，當然也可以把對數放縮成一次函數，但這樣不如直接将反比例函數放縮成0簡單，其它放縮形式讀者可自己試一下。

确定出對對數放縮時為什麼将lnx放縮成x/2，因為主元為一次函數，還要保證放縮之後的函數單減，因此一次函數系數要為負值，此時也可将lnx放縮成x/k，隻要保證0<k<1即可，如果對剛才經驗取點法不熟悉，也可用放縮取點法證明函數在0<x<1上存在一個零點，過程如下：

注意案例3中确定出需對lnx放縮，但為什麼放縮成根式形式，因為函數中-2ax為主元，它決定函數整體的趨勢，因此需要将lnx放縮成一個速率小于-2ax的形式，這樣放縮後的趨勢也不改變，所以需要把lnx放縮成一個幂函數，且幂指數小于1方可。

案例4中雖然ex為主元，可對一次函數-ax進行放縮，但由于不确定x的上界，将-ax放縮成一個數字時符号是反的，此時可對主元放縮，且放縮後依舊為主元，因為-ax為一次，因此可将ex放縮成比1次要高的幂函數，即ex＞x²

案例5中需要對2e2x進行放縮,指數函數本身增長速率極大，比它速率還快的函數隻能是指數本身，因為x有上界，所以将2e2x放縮成一個數字即可。

案例7很簡單，不再解釋

案例8中g(x)隻有一處含有x，沒有主元餘子式之分了，經驗取點x=0可知g(0)<0，因此可對ex放縮，即ex>1,所以g(x)=aexx²-(a 1)>ax²-(a 1)，解不等式即可。

通過以上放縮取點的原理分析和8個案例，相信讀者對放縮取點法應該有了一定的認識和理解，其實放縮取點法的關鍵就兩個，一是分清對誰放縮，二是根據增減速率不同選擇合适的放縮方法，上述是對此類問題最淺表性的解析，當然不排除有一些很難找點的題目，但以上作為學生使用差不多足夠了。這篇文章延期了很久，後台也有不少讀者留言私信過，今天就導數零點問題中如何找點做一次簡要的介紹，此類題目非常多，理解文章的方法邏輯并不難，熟練掌握還得多加練習，這篇文章雖然隻介紹用放縮取點法，實際上涉及了導數中所有的放縮思想，建議好好領悟，希望文章對你有幫助，文章一周之後免費，屆時重新發布一遍。

一.零點找點問題來源

簡要介紹一下問題的來源，數學中零點問題若結合參數，或考查根據零點個數求參數範圍，或讨論零點個數，通常有兩種解題思路，一是分離參數，但此時會用到極限來判斷函數區間兩端點處的函數值，這種做法在考試中會扣除兩分，二是對參數進行讨論，若确定出函數單調性後，例如函數先減後增，若保證函數有兩個零點，則最小值一定要小于零，且在極值點兩側用零點存在定理各找一個零點，由于函數中帶有參數，取點處的函數值的正負有時候并不容易确定，當然不排除根據經驗找到的點恰好能消除參數或者能判斷出函數的正負，若題目需要找兩個零點，通常其中一個根據經驗相對容易找出，而另外一個零點就需要用放縮取點法來找了。

二.放縮形式有哪些，該選用哪種放縮形式？

放縮從對所放縮的部分來說可分為整體放縮和部分放縮；從放縮精度上來說可分為精确放縮和不精确放縮，例如ex≥x 1屬于精确放縮，ex>x²就屬于不精确放縮，無論精确與否都屬于放縮；如果對函數放縮本身來講，放縮形式有三種，一是利用有界性來放縮，這種嚴格來說不屬于放縮，而是根據在給定定義域範圍下函數的範圍也可确定，例如當a>0且x∈[1,2]時，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，這種放縮是把函數放縮成具體的數字，第二種是切線放縮，其本質上屬于泰勒不等式展開形式的應用，根據ex≥x 1和lnx≤x-1這兩個基礎性的不等式可引申出很多放縮形式，第三是恒成立放縮，這其實也不能稱之為放縮，例如ex>x²。放縮是化曲為直或化曲為曲或化函數為數的過程,至于選擇哪種放縮形式并無定論，依題而定，很具有靈活性。

三.常見的指對數放縮形式

ex和lnx均有三種放縮形式，即放縮成一次函數，單增幂函數例如二次函數，單減幂函數例如反比例函數，為什麼要區分開這三種放縮形式？是因為這三種不同的放縮形式增長速率不同，單增幂函數>一次函數>單減幂函數，在函數放縮形式進行選擇時要考慮到不同函數的增長速率。

四.函數趨勢的确定

這是一個很有意思的知識點，函數在間斷點或無窮處的函數值其實是由函數中某部分起主導作用的函數決定的，例如函數中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞,n(x)→k，則m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞,n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞,n(x)→-∞，但若m(x)的增長速率遠大于n(x)減小的速率，則m(x) n(x)→ ∞

因此可把決定函數趨勢或者形态的那部分函數看作函數的主元，其餘的均為餘子式，對函數進行放縮的時候有三種放縮形式：第一種是不動主元，放縮餘子式，放縮後的新函數趨勢和原函數一緻，第二種是餘子式不能放縮，可放縮主元，但必須保證對主元放縮之後的部分依舊決定了函數的趨勢，即主元放縮之後依舊是主元，第三種較為特殊，即m(x)和n(x)在定義域的兩端點處的極限值相同，雖然兩者有速率上的差别，但兩者均可看作主元，此時對誰放縮均可，放縮後的形式越簡單越好，這是放縮取點法中很重要的部分。

五.放縮取點法的原理

原理其實很簡單，若直接找點不容易，例如在函數在極值點的右側單增，且極值點小于零，則需在極值點的右側找一個x1使得f(x1)>0,不等式f(x)>0顯然不可解，但可通過放縮将f(x)放縮成一個容易解方程的函數，即f(x)>g(x)，因為放縮後g(x)=0容易解，設為x1，根據不等關系點x1自然也滿足f(x1)>0,注意最後需證明x1在規定的定義域内。

結合上述第四點主元的判定和放縮的選擇，那麼放縮取點法就很容易了。

六.典型案例分析

其實案例1找點很容易，對數的真數為x a，因此取點時肯定取一個ek-a的形式，這樣就可以對數化為常數，如果按照放縮取點法，此時對數和反比例函數的趨勢和整體函數的趨勢相同，對哪個放縮均可，原則是越簡單越好，當然也可以把對數放縮成一次函數，但這樣不如直接将反比例函數放縮成0簡單，其它放縮形式讀者可自己試一下。

确定出對對數放縮時為什麼将lnx放縮成x/2，因為主元為一次函數，還要保證放縮之後的函數單減，因此一次函數系數要為負值，此時也可将lnx放縮成x/k，隻要保證0<k<1即可，如果對剛才經驗取點法不熟悉，也可用放縮取點法證明函數在0<x<1上存在一個零點，過程如下：

注意案例3中确定出需對lnx放縮，但為什麼放縮成根式形式，因為函數中-2ax為主元，它決定函數整體的趨勢，因此需要将lnx放縮成一個速率小于-2ax的形式，這樣放縮後的趨勢也不改變，所以需要把lnx放縮成一個幂函數，且幂指數小于1方可。

案例4中雖然ex為主元，可對一次函數-ax進行放縮，但由于不确定x的上界，将-ax放縮成一個數字時符号是反的，此時可對主元放縮，且放縮後依舊為主元，因為-ax為一次，因此可将ex放縮成比1次要高的幂函數，即ex＞x²

案例5中需要對2e2x進行放縮,指數函數本身增長速率極大，比它速率還快的函數隻能是指數本身，因為x有上界，所以将2e2x放縮成一個數字即可。

案例7很簡單，不再解釋

案例8中g(x)隻有一處含有x，沒有主元餘子式之分了，經驗取點x=0可知g(0)<0，因此可對ex放縮，即ex>1,所以g(x)=aexx²-(a 1)>ax²-(a 1)，解不等式即可。

通過以上放縮取點的原理分析和8個案例，相信讀者對放縮取點法應該有了一定的認識和理解，其實放縮取點法的關鍵就兩個，一是分清對誰放縮，二是根據增減速率不同選擇合适的放縮方法，上述是對此類問題最淺表性的解析，當然不排除有一些很難找點的題目，但以上作為學生使用差不多足夠了。

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