針對在普通機床上加工變螺距螺杆時存在的實際問題，通過對輪廓弓高誤差和進給加速度的控制，實現了變螺距螺旋線的直接插補控制，求解出了其插補軌迹，同時為了避免機床在加工起始和終止時産生沖擊和振蕩，提出了一種多項式曲線加減速控制算法和終點控制方法，并通過實例驗證了算法的可行性和正确性。該算法适用于所有的空間參數曲線，為變螺距螺杆的實際加工提供了理論指導。

食品機械、石油化工、航天和船舶等工業領域，廣泛地應用着各種類型的螺杆。變螺距螺杆由于其加工工藝繁瑣，加工難度較大，目前多用螺杆專用機床進行加工。在普通機床上實現變螺距螺杆的加工，是異形螺杆加工領域的一個重要方向，而作為體現數控加工精度和效率的插補算法，其研究就顯得尤為關鍵。

插補算法一般可分為基準脈沖法和數據采樣法兩大類，傳統的機床在對要加工的零件曲線進行插補運算時，通常是将其離散化為一系列首尾相接的微小直線段，直線段的數量越大，加工精度就越高。同時，為了滿足數控加工高速高效的發展需要，必須對整個加工過程進行加減速規劃。目前常用的加減速控制方法有直線加減速和S形曲線加減速兩種，直線加減速控制最簡單也最常用，但是機床在加減速起始和終止時都存在速度突變，容易引起機床的振動，影響加工精度；S形加減速控制不存在速度突變，過渡平滑，但是算法比較複雜，并且其加加速度的不連續性也使加工的柔性受到了限制。

本文以變螺距雙螺杆壓縮機中的陰轉子為研究對象，通過對輪廓弓高誤差和進給加速度的控制，使用數據采樣插補的方法實現了變螺距螺旋線的直接插補控制，并提出了一種多項式曲線加減速控制算法和終點控制方法，最後通過實例對本文算法的可行性和正确性進行了驗證。

1. 期望進給步長的确定

（1）輪廓誤差分析控制 數據采樣插補法本質上是将加工一段輪廓曲線的時間劃分為若幹相等的插補周期T，每個周期進行一次插補計算，在指定進給速度F下将輪廓曲線分割成一系列的微小直線段，然後轉換成各個坐标軸的進給量。這種插補方式得到的插補點均在輪廓曲線上，故不存在徑向誤差，插補的輪廓誤差隻來源于微小直線段逼近實際輪廓曲線所産生的弓高誤差，其大小随着輪廓曲線的曲率和進給步長的增大而增大。

如圖1所示，被微小直線段分割的各段輪廓曲線可近似為圓弧，根據微分幾何關系，插補的弓高誤差 δ h 與插補步長L 1 以及輪廓曲線的曲率半徑 ρ 之間存在如下關系：

（1）

圖1　步長與弓高誤差的關系

将給定允許的最大輪廓誤差δ hmax 代入式（1）可計算出對應的插補步長L 2 ：

（2）

由于曲率半徑 ρ 的計算較為複雜，聯立式（1）和式（2）便可在避免求 ρ 的情況下得到最大輪廓誤差下的插補步長：

（3）

（2）進給加速度分析與控制 現代數控加工正朝着高速高效的方向發展，機床的切削速度越來越高，在加工曲線曲面時，必然會有較大的法向進給加速度，尤其是在曲線曲率較大的加工區域，容易引起機床的振動，影響加工精度。所以，隻根據進給速度、插補周期及弓高誤差來确定插補步長是不夠的，必須将進給加速度考慮在内。當加工到某一插補點，進給速度不變時，進給的最大法向加速度a max 以及輪廓曲線上該點的曲率 ρ 之間存在如下關系：

（4）

同樣，為了避免計算曲率半徑 ρ ，聯立式（2）和式（4）得到給定的最大法向加速度a max 下的插補步長L 3 為：

（5）

（3）期望進給步長計算　根據以上三個控制條件計算出來的三個進給步長L 1 、L2 和L 3 ，取：

（6）

其中，L 1 ＝FT為隻考慮進給速度的無約束進給步長，求得的L為同時滿足無約束進給步長、弓高誤差以及進給加速度約束條件下的期望進給步長。

2. 變螺距螺旋線的直接插補算法

以變螺距雙螺杆壓縮機中的左旋陰轉子為例，其端面型線的參數方程可表示為：

（7）

轉子的端面型線繞中心軸作螺旋運動，當端面型線相對于其起始位置轉過 τ 角時，軸線前進距離為z。則陰轉子左旋螺旋面的參數方程為：

（8）

其中，P（ τ ）表示陰轉子圓柱螺旋線的軸向參數方程。

由式（8）可知，設 θ 為常數而改變 τ 時，得到的 τ 參數方程就表示以初始端面型線上不同點為起點的一條條螺旋線；設 τ 為常數而改變 θ 時，得到的 θ 參數方程就表示在不同位置的端面型線。

設變螺距螺旋線的參數方程為s( τ )＝[x( τ ), y( τ ), z( τ )]，進給速度為v(t)，由微分幾何關系可得：

（9）

則：

（10）

其中：

（11）

因此：

（12）

則旋轉角 τ 的增量：

（13）

第 i 1個插補點的旋轉角為：

（14）

取 τ 0 ＝0，根據∆ τ 可以求解出輪廓曲線上所有插補點的位置。

3. 多項式曲線加減速控制

（1）多項式曲線加減速原理　為了保證機床在加工起始和終止時不産生沖擊和振動，必須對驅動裝置進行加減速控制。由于加減速都是在非常短的時間内完成的，所以暫不考慮弓高誤差。

由位移、速度、加速度和加加速度之間的導數關系可知，要保證加加速度曲線的連續性，其位移控制曲線必須是四次及以上多項式曲線，才可以實現機床高效高速的加工。但是曲線的次數越高，其計算難度就越大，所以，本文采用最基本的四次位移控制曲線。

用t表示加工時間，構造四次所以還有待發展。位移控制曲線如下所示：

（15）

對該曲線依次求導得到速度、加速度和加加速度的曲線方程：

（16）

分析可得，在加速階段需要滿足的約束條件為：

（17）

其中，t 0 為加速階段結束時的時間，v s 為穩定速度。在減速階段需要滿足的約束條件為：

（18）

其中，t 1 、t 2 分别為減速階段開始和結束時的時間，s 1 為減速階段開始時的位移。

（2）終點控制方法　前加減速控制的優點在于對合成速度進行控制，不影響加工精度，但是需要預測減速點。傳統的數控加工中一般用兩種方法來預測減速點，一種是用對稱性來确定，即減速階段采用和加速階段相同的運動規律，另一種是根據系統當前位置的進給速度和進給加速度等參數計算減速區的長度，從而确定減速點。由于多項式曲線加減速方式計算量相對較大，故本文采用對稱性的方式确定減速點。

設給定τ的取值範圍為τ∈(0，τ i )，利用編程語言求解插補點時，其約束條件為τ≤τ i ，這樣的求解方法通常不會剛好插補到輪廓曲線的終點，因為插補算法求解的最後一點與曲線終點之間的弦長L i 往往是小于期望進給步長 L 的，插補不到曲線的終點，故産生了加工誤差。

本文提出的解決方法是，在之前插補的基礎之上，再多進行一次插補，這樣插補的終點不會在曲線上，而是在曲線之外，但輪廓曲線整體被插補完成，并且最後一次插補滿足弓高誤差的約束條件。

4. 算法應用實例

設變螺距圓柱螺旋線的方程為：

（19）

取插補周期T＝2ms＝0.002s，穩定速度v s ＝3 000mm/min＝50mm/s，則無約束進給步長：

取弓高誤差 δ h ＝1μm，允許的最大輪廓誤差 δ hmax ＝5μm，則在給定允許的最大輪廓誤差約束條件下的插補步長：

取t0 ＝200ms＝0.2s，根據式（17）可得加速階段的約束條件為：

（20）

聯立式（15）、（16）和（20）解得：

容易求得加速階段的速度曲線方程為：

（21）

則加速階段旋轉角τ的增量：

（22）

設給定允許的最大進給加速度為3 000mm/s2，則對應的插補步長：

所以期望進給步長：

勻速階段旋轉角τ的增量：

（23）

根據給定的變螺距圓柱螺旋線的方程編程可求得s 1 ＝33mm，t 1 ＝760ms＝0.76s，t 2 ＝960ms＝0.96s，同理，根據式（18）可得減速階段的約束條件為：

（24）

聯立式（15）、（16）和（24）解得：

其減速階段的速度曲線方程為：

（25）

減速階段旋轉角τ的增量：

（26）

加工該變螺距圓柱螺旋線的速度控制曲線以及插補點位置示意如圖2、圖3所示。

圖2　速度控制曲線

圖3　變螺距螺旋線插補軌迹示意

應用本文提出的終點控制方法得到的輪廓曲線終點位置的插補示意如圖4所示。其中，p為插補節點，p i 為輪廓曲線終點，實際并未插補到，p i 1 為插補終點，其不在輪廓曲線上，最後一次插補滿足弓高誤差約束條件δ hi ≤ δ h 。

圖4　終點位置插補示意

5. 結語

1）通過對輪廓弓高誤差和進給加速度的控制，實現了變螺距螺旋線的直接插補控制，該插補方法适用于所有的空間參數曲線。

2）應用一種多項式曲線加減速的控制方法解決了直線加減速速度突變以及S形曲線加減速算法繁瑣的問題，并提出了一種簡單可行的終點控制解決方法。

3）最後通過一個變螺距圓柱螺旋線的實例驗證了本文算法的可行性和正确性。

需要說明的是，變螺距螺杆的加工需要螺杆繞自身軸線轉動，同時為了适應螺杆不斷變化的螺旋角，刀具安裝角也随之變化，如在普通機床上加工，需要在四軸聯動或者更高的機床上實現。

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