利用三角形重心性質渡劫選擇壓軸題

說起三角形的重心，多數學生都會想到三條中線的交點，然後便是實際應用例如頂起一塊三角形木闆之類的問題，卻極少有更深入理解重心與中線之間的數量關系。而在選擇題最後一題，俗稱選擇壓軸題當中，這些“冷門”知識恰恰能派上大用場，甚至非它無解。

題目

解析：

以常規常法思考時，一些必要的線段需要先連接起來，例如切點和圓心，因此，當我們連接之後，可以很容易得到AG為∠BAC的角平分線，延長它與BC相交于點F，是否AG也為BC邊上的高呢？這實在是非常像“三線合一”，可惜，根據已有的條件，全等三角形無法判定，這屬于“邊邊角”，思維就此陷入困境，如何渡過這個劫難呢？

既然AG是中線，則F點一定是BC中點，常見輔助線作法中，有中線倍長構造全等的思路，剛才的△ABF與△ACF沒法證全等，總能構造出另外一對全等三角形吧？于是延長AF至點M，使FM=AF，再連接BM，如下圖：

顯然△ACF≌△MBF，于是∠CAF=∠M，得到AC∥BM，再由AG為∠BAC角平分線，得到∠BAF=∠M，于是△ABM為等腰三角形，而點F同時也是AM中點，于是由三線合一，得到AF⊥BC。

至少此時說明題圖是有意“誤導”，可見平時養成規範作圖的習慣有多麼重要了。

接下來，我們可以找到一對相似三角形，△ADG∽△AFB，之所以選擇這一對，是因為它們中，△ABF的兩邊已知，分别是4和3，另一邊可通過勾股定理求得為√7，那麼另一個△ADG中，三邊之比必定是3：4：√7，于是設DG=3x，AG=4x，至此又陷入第二個困境，FG長度未知。

有學生在此進行了嘗試，将FG表示為√7-4x，然後無論是利用雙勾股或相似比，結果無一例外成為恒等式，說明FG的長度需要另想辦法。

FG是中線AF的一部分，是中線AF被重心G分割出來的一部分，那重心分割的中線兩部分之間又有什麼關系呢？讓我們回憶一下重心的相關知識，如下圖：

在△ABC中，O為三條中線交點即重心，于是圖中△AOE、△AOF、△BOF、……面積全都相等。因此，△AOB面積是△AOE的兩倍，而它們等高，于是OB=2OE，同理，重心O将每條中線都分成1：2兩部分。

回到題目當中來，點G将AF分成的兩部分AG=2FG，于是我們便可以繼續剛才的思路了。

設DG=3x，AG=4x，于是FG=2x，而AF=√7，所以4x 2x=√7，解得x=√7/6，然後求出GH和FG，利用勾股定理求出HF，最後由垂徑定理，HK=2HF，計算出結果為√35/3，選A。

解題反思

重心推導出來的這個結論，在人教版教材中并沒有專門說明，課堂上最多拓展到中線所分割成的六個小三角形面積相等，但隻要再多走一步，深入一層，便可得到上述結論。在這道選擇題中，如果沒有它，後續思路無法進行。

從命題角度來看，它所用到的知識點沒有超出教材範疇，依然是常規常法，同時由于位處選擇題，對解題過程并沒有過多要求，但思維上的難度一點也不低，哪怕隻是記住了重心的結論，此題也能迅速解得。這考察的就是學生平時的歸納總結能力，一般情況下，隻理解了重心是三條中線交點的，沒思路，二般情況下，理解了中線所分兩個三角形面積相等的，隐約可見，三般情況下，理解了重心将中線分成1：2兩部分的，秒答。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!