倍數與因數都是數論問題的重要組成部分，好比鳥之兩翼，缺一不可。因數問題與倍數問題相輔相成。所以，一定要聯想記憶和學習，才能事倍功半。

①倍數：一個整數能夠被另外一個整數整除，這個整數就是另一個整數的倍數。

②公倍數：兩個或多個整數共有的倍數叫做它們的公倍數。

③最小公倍數：公倍數裡最小的那一個叫它們的最小公倍數。

列舉法： 3的倍數有：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30……

5的倍數有：5,10,15,20,25,30,35……

其中，15和30就是3和5的公倍數，15是它們的最小公倍數。

短除法：

①最大公因數為M；最小公倍數為M×a×b

②最小公倍數的表示方法：有兩個數Ma和Mb，若a和b互質（即a和b 沒有公因數），則Ma和Mb的最小公倍數為Mab，表示為[Ma,Mb]=Mab

①M×a × M×b=M × M×a×b（最大公因數×最小公倍數=原來兩數的乘積）

②M×a×b ÷ M= a × b（ a 、 b互質）

——如何變抽象為具體，從容應對競賽中的倍數問題？請記住解倍數實際應用類問題三步曲：

第一步：轉化

第二步：分解

第三步：應用

【例1】甲乙丙三人沿着200米的環形跑道跑步，甲跑完一圈要一分30秒，乙跑完一圈要1分20妙，丙跑完一圈要1分12秒，三人同時、同向、同地一起跑，最少經過多少時間又再同一起跑線上相遇？相遇時，甲、乙、丙三人各跑了多少圈？

【解析】①轉化：根據題給出的條件，知道甲跑完一圈要90秒，乙跑完一圈要80秒，丙跑完一圈要72秒；最少經過的時間就是90,80,72的最小公倍數

②分解：運用短除法可以求出90,80,72的最小公倍數是720。

③應用：經過720秒即12分鐘後它們在同意起跑線上再次相遇，此時甲跑了720÷90=8圈，乙跑了720÷80=9圈，丙跑了720÷72=10圈。

——如何變抽象為具體，從容應對競賽中的倍數問題？請記住解最小公倍數與最大公因數綜合問題四步曲：

第一步：設數

第二步：列式

第三步：分解

第四步：排除

【例2】兩個自然數的最大公因數是7，最小公倍數是210，這兩個數的和是77，那麼這兩個數分别是（ ）和（ ）。

【解析】①設數：設這兩個數分别為7a，7b

②列式：7×a×b=210，即a×b=30。7a 7b=77，即a b=11.

③分解：根據a×b=30得出a和b得a和b的取值可以為：

④排除：根據a b=11可以得出符合題意的取值為5和6，可以得出這兩個數分别為5×7=35,6×7=42。

【例3】已知兩個不互質的自然數的差為2，它們的最小公倍數和最大公因數之差為142，求這兩個自然數各是多少？

【解析】①設數 設這兩個數分别為x，y，它們的最大公因數為a。

②列式：a×b-a×c=2 ，a×b×c-a=142。

③分解：a×（b-c）=2，a×（b×c-1）=142，由a×（b-c）=2得：a=1，b-c=2或a=2，b-c=1。

④排除：若a=1，b-c=2.則b×c=143，b=11，c=13（不合題意，舍）。若a=2，b-c=1時，b×c=72，則b=9，c=8。所以這兩個自然數分别是9×2=18和8×2=16。

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