本文主要内容：讨論底a>1與0<a<1兩種情況下函數的交點個數問題。

一、實例分析

（一）判斷函數y=3^x與函數y=log3(x)的交點個數

對于函數y=3^x,其定義域為全體實數，值域為(0, ∞)。由于底數a=3,a>1,所以函數在定義域區間上為單調增函數。

對于函數y=log3(x),其定義域為(0, ∞)，值域為全體實數。由于底數a=3,a>1,所以函數在定義域區間上為單調增函數。二者在同一坐标系的圖像如下圖：

由于函數y=log3(x)和函數y=3^x互為反函數，即關于直線y=x對稱。從圖像容易知道y=3^x和y=x沒有交點，所以根據對稱性質，y=log3(x)與對稱軸y=x也沒有交點，即此時函數y=3^x與函數y=log3(x)的交點個數為0.

此時思考：在a>1的情況下，y=a^x和y=x之間是永遠相離，還是可以相切，或是相交？

（二）判斷函數y=（1/3)^x與函數y=log(1/3)(x)的交點個數

對于函數y=(1/3)^x,其定義域為全體實數，值域為(0, ∞)。由于底數a=1/3,0<a<1,所以函數在定義域區間上為單調減函數。

對于函數y=log(1/3)(x),其定義域為(0, ∞)，值域為全體實數。由于底數a=1/3,0<a<1,所以函數在定義域區間上為單調減函數。二者在同一坐标系的圖像如下圖：

由于函數y=log(1/3)(x)和函數y=(1/3)^x互為反函數，即關于直線y=x對稱。從圖像容易知道y=(1/3)^x和y=x有一個交點，所以根據對稱性質，y=log(1/3)(x)與對稱軸y=x同時交于此交點，即此時函數y=(1/3)^x與函數y=log(1/3)(x)的交點個數為1.

此時思考：在0<a<1的情況下，本例出現的交點是1個，但不是切點，是否還存在隻有1個交點且是切點等其他情況。

二、結論歸納

（一）函數y=a^x與函數y=loga(x)(a>1)的交點個數

對于函數y=a^x,其定義域為全體實數，值域為(0, ∞)。由于底數a>1,所以函數在定義域區間上為單調增函數。

對于函數y=loga(x),其定義域為(0, ∞)，值域為全體實數。由于底數a>1,所以函數在定義域區間上為單調增函數。

下面讨論二者相切的情形。

函數y=loga(x)和函數y=a^x相切，則必定切點在對稱軸y=x上，即y=x是此時二者的切線，故切線的斜率k=1，亦即在切點處的導數y＇=1.

對y=a^x求導，得到y＇=a^x*lna=1,

即：a^x=1/lna=lne/lna=loga(e)①.

由于切點在y=x上，則與y=a^x聯立方程有：

a^x=x②

方程①代入方程②得到：

a^x=x=loga(e)③

即：

a^[loga(e)]=x=logae

e=logae

則a=e^(1/e),回代入③，得：

x=log[e^(1/e)](e)

x=lne/ln[e^(1/e)],使用換底公式得到。

x=1/(1/e)=e.

即函數y=loga(x)和函數y=a^x，當a=e^(1/e)時，二者相切，切點為（e，e），此時圖像大緻如下：

根據以上情況，則對a與a=e^(1/e)的大小讨論如下：

（1）當1<a<e^(1/e)的時候，函數y=loga(x)和函數y=a^x二者是相交關系，即有兩個交點。

（2）當a=e^(1/e)的時候，函數y=loga(x)和函數y=a^x二者是相切關系，即有一個交點。

（3）當a>e^(1/e)的時候，函數y=loga(x)和函數y=a^x二者是相離關系，即此時沒有交點。本題所列判斷函數y=3^x與函數y=log3(x)的交點個數的例子，屬于此情況。

（二）函數y=a^x與函數y=loga(x)(0<a<1)的交點個數

對于函數y=a^x,其定義域為全體實數，值域為(0, ∞)。由于底數0<a<1,所以函數在定義域區間上為單調減函數。

對于函數y=loga(x),其定義域為(0, ∞)，值域為全體實數。由于底數0<a<1,所以函數在定義域區間上為單調減函數。

下面讨論二者相切的情形。

函數y=loga(x)和函數y=a^x相切，則必定切點在對稱軸y=x上，即y=x是此時二者切線的法線，故切線的斜率k=-1，亦即在切點處的導數y＇=-1.

對y=a^x求導，得到y＇=a^x*lna=-1,即：

a^x=-1/lna=-lne/lna=-loga(e)①.

由于切點在y=x上，則與y=a^x聯立方程有：

a^x=x②

方程①代入方程②得到：

a^x=x=-loga(e)③

即：

a^[-loga(e)]=x=-loga(e)

a^[loga(1/e)]=loga(1/e)

1/e=loga(1/e)

得：a=(1/e)^e,進一步代入③，得：

x= -log[(1/e)^e](e)

x=-lne/ln[(1/e)^e]

x=-1/[eln(1/e)]

x=-1/[e*(-lne)]

x=-1/(-e)

x=1/e

即函數y=loga(x)和函數y=a^x，當a=(1/e)^e時，二者相切，切點為（1/e，1/e），此時圖像大緻如下：

根據以上情況，則對a與a=(1/e)^e的大小讨論如下：

（1）當0<a<(1/e)^e的時候，函數y=loga(x)和函數y=a^x二者在y=x兩邊各有1個交點，此時共有2個交點。

（2）當(1/e)^e<a<1的時候，函數y=loga(x)和函數y=a^x相交或相切，此時有1個交點。上述相切，以及前面列舉的實例，均屬于此種情況。

三、細節說明

（一）對于a的取值，在a>1的時候，y=a^x和y=loga(x)随着a的增大而不斷遠離y=x。

（二）函數y=a^x和y=loga(x)有交點時，當隻有一個交點，既可以是一般的交點，也可以是切點。

（三）函數y=a^x和y=loga(x)若有切點，則必定在直線y=x上，因為切點有且隻有一個，若不在y=x上，則根據對稱必定有兩個，即出現矛盾。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!