馮躍峰

如何學好數學？這是一個非常廣泛的話題。盡管學習方法因人而異，但還是可以歸納出一些共性的原則。

我們這裡介紹的方法，就适合每一個同學（包括高考與競賽兩個方面）。其方法可簡單地概括為：

“過三關”（建立三個支點）、“闖六隘”（把握六個環節）、“練三招”（掌握三個模式）。

一、把握數學與其它學科的3個差别（建立3個支點，過3關）

也許大家心中一直藏着這樣一個疑惑：為什麼有些文科學得很好的同學卻學不好數學？這是數學與文科之間至少存在的以下3大差别所緻，因而我們不能用與學習文科的方法去學習數學。

1、論證的差别（學會數學論證方式，過“推理”關）

文科的論證，隻需羅列各種理由即可。比如有這樣一道問答題：“蘇聯為什麼會解體？”你可能會作這樣的分析：一是曆史的原因，二是現時的原因，三是外部的原因，四是内部的原因等等。對每一個原因，你又可從政治、經濟、文化、宗教信仰、民族風格等方面進行論述，你還可列舉一些典型事件、代表人物等等。總而言之，你是将諸多原因羅列在一起，然後導出蘇聯解體的結論。

而數學的論證則不是這樣，比如有這樣一個數學題目：為什麼三角形的内角和為180°？則你不能這樣回答：一是因為三角形有3條邊，二是因為這3條邊兩兩相接，三是因為它們兩兩相接形成了3個角，所以三角形的内角和為180°。

由此可見，數學的證明，并不是将所有條件羅列在一起，然後推出結論。這就是數學論證與文科論證的根本差别。

那麼數學的論證又是怎樣進行的呢？對此，我們在這裡不可能也沒有必要作全面的評述，因為數學老師在課堂上都有介紹。但值得強調的是，數學論證區别于其他學科的一個重要方面是“經得起斷章取義”。

文學作品是不允許斷章取義的，這大家都非常清楚，但為了便于說明問題，我想講2個小故事。

第一個小故事，說的是某次聚會，彙集了不少社會名流。席間，一位畫家向一位京劇表演藝術家敬酒，說道：“我是小人，你是君子。”大家一時不解何意，氣氛頓時顯得有點凝重。此時，隻見畫家不緊不慢地笑着解釋道：“君子動口，小人動手啊。”話音一落，大家都開懷大笑。

第二個小故事，說的是我國著名畫家齊白石老人八十九歲壽誕，衆人慶賀，有人提議每人緻一句祝酒詞。隻見其中一位起身說到：“白石老人不是人。”話音一落，衆人大驚失色，白石老人的臉色也沉了下來。隻見那人緊接着說：“是天上下凡的老壽星。”大家一聽，疑慮頓失，白石老人也撫須而笑。

顯然，在這2個小故事中，若隻摘取所說話的前半句，則會給人以誤導，而這種誤導手法在法庭辯論中最為常見。比如，律師可以這樣問那位祝酒者：“你是否說過‘白石老人不是人’？你隻須回答‘是’或‘不是’。”則祝酒者就有口難辯了。由此可見，這種形式的幽默常常存在着潛在的危險，因為它給那些别有用心的人留下了把柄。

那麼，數學推理要“經得起斷章取義”是什麼含義呢？我們可想象如下一個的情景，這在我們身邊也許是經常發生的。

學生：因為有A，所以有B。

老師：由A可以推出B嗎？我給你舉個反例！

學生：因為題目中還有條件C啊！

老師：正因為如此，你就得運用這個條件啊！

上述情景說明，數學推理必須遵循的一個原則：數學推理的每一個局部範圍都必須獨立地成立，因而推理中不能默認題目中的條件或前面推出的結論。也就是說，不論你摘取任何一個局部，它都是對的！

實際上，數學的每個定理、性質、公式、法則，其實質就是明确規定由誰隻能推出誰，一切推理片段都必須有其中之一作保證。它決不允許象文科那樣，将所有條件羅列在一起，然後寫出結論。

如果可以那樣做，則數學證明題就不需要證明了，人人都能得滿分，是因我有這樣一個“萬能證題法”：因為有A，又因為有B，…（羅列題中的所有條件），結合定理C，所以結論P成立。

有的學生給出這樣的“證明”後還振振有詞：“老師，你說我的證明有問題？你能舉出反例說明我的證明不對嗎？”

老師确實沒有辦法舉出反例，因為既然是證明題，結論必定是對的，無法舉出反例。所謂的解答“有問題”，是指推理過程不嚴謹。

大家可能注意到這樣的現象：在小學尤其是低年級階段，同班學生的成績基本上沒有多少差别，這是因為低年級的數學隻涉及到計算而沒有數學推理，一旦出現需要運用知識進行推理，學生的能力差異就凸顯出來了。因此，我們認為，要學好數學，首先要過好推理關，它是學習數學的第一個支點。

數學中究竟應如何進行推理？經得起斷章取義是一個基本原則。具體地說，就是推理中的每一個“所以…”的論斷，都必須有充足的依據：或者是某個定理保證，或者是某個法則保證，或者是某種性質（如等式、不等式的基本性質，分式的基本性質等）保證。而且在子範圍内，獨立形成一個完整的推理。

2、語言的差别（理解數學語言，過“符号”關）

文科的語言是我們早已熟悉的常規語言，因而運用起來輕車熟路，得心應手。而數學則不是這樣，為了簡化複雜的表述，數學總是用一些特定的符号來表示特定的含義。所以我們說，數學是符号的科學，因為它的語言充滿着符号。

數學的每一個符号就是它的一個語言單元，包含了非常豐富的内容。

比如你見到這樣一個符号：，你熟悉它表示什麼含義嗎？如果你僅僅記住了=1.414…，則你并沒有理解和掌握這一符号。

實際上，表達了這樣兩層含義。一方面，它是那樣的一個數，這個數同時滿足2個條件：（i）它的平方為2；（ii）它不小于0。

另一方面，它又表示一種運算：對2求算術平方根（也就是求滿足上述兩個條件的數）。由于這個數用有限小數表示都是近似值，所以将其運算結果也用表示。

一般地，既表示一個運算，又表示一個運算的結果（當它不能化簡時）。

所以，從運算的角度看，隐含有a≥0；從運算的結果看，隐含有≥0。

如果你這樣把握了符号的意義，就絕不會出現諸如=±3的錯誤了。

我們再講一個更為抽象的符号f（x），實際上，這個符号不過是符号的推廣。如果你真正理解了的意義，而且掌握了數學用符号表達思想的基本方式，那麼符号f（x）也就不難理解了。

實際上，f（x）也是指一個那樣的數，它是x按照法則f（運算）得到的一個數，即 x→f（x）。這個數f（x）叫做x的函數，簡稱函數f（x）。

如果将這個數f（x）記為y，便得到函數y=f（x）。

所以函數的實質，是指f（x）或y，而不是指等式y= f（x）。

但f（x）究竟是什麼，在具體的問題中須給出明确的規定，因而就有了諸如

f（x）=x -1，f（x）= 2 等等。

這裡實際上就是規定了f的具體意義（想一想：你能說出函數f（x）= 2 與 y= 2 有何區别嗎？也就是說，其表現形式各有什麼優劣？）。

此外，數學語言還有另一個特點，那就是不能用口語化的描述代替數學論述。

比如，有同學喜歡用這種常規語言描述方式進行證明：“如果a為正數，那麼把a和3相加，就會得到一個比3大的數，這樣就不行。”

上面這段話，改用數學語言，應該這樣表述：若a>0，則a 3>3，與…矛盾。

怎樣才能掌握好數學語言，主要有這樣兩個方面：一是要善于将符号語言翻譯成常規語言去理解，二是要善于将常規語言對問題的認識翻譯成符号語言去進行數學推理。

這兩個方面都離不開數學符号，隻有理解和掌握了數學符号，才能真正理解和掌握數學。反之，如果你連數學符号都看不懂，或者似懂非懂，那你就根本不能準确進行數學的運算和推理。

因此，我們認為，要學好數學，還必須掌握和運用好數學語言，過好符号關，這是學習數學的第二個支點。

3、體系的差别（把握數學知識體系，過“鍊接”關）

數學知識體系與文科存在着這樣一些差别：

首先，文科知識，隻要求理解其精神實質，而描述則是可以“五花八門”，“各顯神通”的。而數學則不然，它有特定的邏輯結構，幾乎任何内容都不能修改或替代，即使是細微的偏差，也會導緻截然相反的結論，真所謂差之毫厘，失之千裡。

其次，文科知識的各方面雖有聯系，但卻具有相對的獨立性，或者說，某個方面的缺陷對其他方面的學習不會造成太大的影響。而數學則不然，它的知識具有超強的連鎖性：新知識（定義、定理、公式、法則、原理、性質）都建立在舊知識之上。

比如，什麼是矩形，它是“有一角為直角的平行四邊形。”如果你不知道什麼是平行四邊形，那你根本無法掌握矩形及其性質。

再比如，如果你不會作加法，你就永遠不會作多位數的乘法。數學的這一特性想必大家是有親身體會的。比如，由于某種原因，你有一個星期沒有來上課，返校後，你發現在文科知識上你與别人沒有多大差距，而數學知識卻是面目全非了。

第三，解答文科題目，你隻要答出了要點，即使出現個别漏洞，也無大礙。比如，你在一篇文章中将稱贊别人文采或畫技的“神來之筆”寫成“神來的筆”（當然，誰也不會這麼做，僅僅是一種假設而已），那你這裡就不是“神來之筆”，而是一處敗筆了。盡管如此，這處敗筆對整篇文章雖有影響，但也不至于全盤否定。而數學則不然，解題中某步出錯，則後面步步皆非。

正是因為這些特點，數學對人的要求近乎苛刻：大而言之，前後知識的連接不允許出現任何斷層；小而言之，定義、定理、公式、法則、原理、性質的理解，不允許出現任何偏差；細而言之，計算或論證的每一個步驟，不允許出現任何差錯。

若做不到以上這些，你對數學的把握就隻能是支離破碎、一知半解而已。比如有的同學，解答數學問題，總是“一看就會”。這當然好，但遺憾的是，緊接着後面還有一句，那就是“一做就錯！”

反之，如果你能做到以上幾點，則你煉就了較好的學習基本功及嚴謹的治學态度，有了這些基本功和這種态度，你不僅可以用它來學數學，學其它學科也就變得輕而易舉了。

因此我們說，要學好數學，必須全面、準确把握數學的知識體系，過好鍊接關，它是學習數學的第三個支點。

二、抓好六個環節（闖六隘）

要學好數學，還需要抓好以下的6個環節。為了避免文章過長，我們這裡隻列出其要點，不作展開。其中有些内容，将另文讨論。

1、記準知識

強調的是一個"準"字，即不能出現任何偏差 （比如，不要漏掉小括号中對字母範圍的約束）。

2、理解本質

所謂本質，就是透過其表現形式，把握其實際含義，包括特征（包含哪些要素）與功能（能起到怎樣的作用）。

3、把握思路

所謂"思路"，就是怎樣找到解題方法的宏觀策略。具體地說，就是如何發掘題目的特征，聯想相關知識與方法解決問題。

解題中，什麼是最重要的?不是結果，也不是過程，而是思路！

4、學會表達

就是會用簡練的數學語言表達自己的思想。表達的最基本要求是把話講清楚，以便“讓别人讀懂你的想法”，當然還得遵循數學推理的基本規範。

5、及時總結

總結包括一些三個方面。

學習中的概括（及時整理知識框架，摘錄難記或難理解的知識）；

解題後的反思（記錄常錯的内容，以免再犯。我們知道，人是無法避免犯錯的，但愚蠢的是經常犯同樣的錯誤）；

研究中的心得（發現的好方法，也可撰寫小論文）。

6、培養習慣

（1） 潔淨的習慣。

有人總結了科學家的分子式:C3H3（Clever Head，Climb Hands，Clean Habit），其中就包括養成潔淨的習慣，比如書寫工整，盡量避免塗改等等。

（2） 動手的習慣。

要邊想邊寫，逐步深入。

（3） 疏通的習慣。

及時解決疑難，可遵循“思考—讨論—請教”的模式。

簡言之，以上“6隘”，可用“死、透、活、明、全、實”6個字來概括：

知識是基礎，要記死（死）；

理解是前提，要鑽透（透）；

思路是關鍵，要靈活（活）；

表達是根本，要簡明（明）；

總結是手段，要全面（全）；

習慣是保證，要落實（實）。

三、掌握三個模式（練三招）

最後，我們還需掌握這樣3個模式：數學閱讀模式、數學思維模式、數學創造模式，簡稱為“練三招”。

具體模式見下面的框圖，我們也不作展開。

數學問題形式多變，但萬變不離其宗，重要的是掌握其精髓。我們歸納的3個模式，目的就是想讓大家對數學的精髓有所認識和把握。

從某種意義上看，這些模式雖是一種定式，但重要的是在實際應用中靈活變通。

倘若你對自己數學學習的現狀不滿意，你也許會問我，現在應該怎樣着手？

——從戰術上講，有3點建議：

一是羅列你不懂的或者未記住的定義、定理、公式，設法弄懂它，記住它！

二是你不懂的或者經常弄錯的數學符号，多看一些含有這些符号的題目，弄清它的真正含義。

三是認真作好每一道題。如果你不知道該題的解法是怎樣得到的，則不僅寫清全部解答過程，還要作好下列工作。

（i）先将題中用到的知識、方法列出來；

（ii）再将題目的條件和目标（或結論）列出來；

（iii）最後反複比較兩者的特點，并思考這樣的問題：如何由題目條件、結論（或目标）找到這些知識？因為你在題目中能夠看到的隻有題目的條件和結論（或目标），而看不到相關知識。通過反複比較、反複思考，直至有所發現，久而久之，你就會找到由題目特征聯想到相關知識的方法了。

——從戰略上講，也有3點建議：

一是調整心态，與數學交朋友。

說到交朋友，大家再熟悉不過了。從幼兒時代就開始交朋友了。還記得嗎，有一次，你媽媽給你一些糖果，你舍不得吃，悄悄地帶到幼兒園送給你要好的朋友吃。你也許忘不了，那個叫明明的小孩，紙飛機疊得棒極了。還有一個叫亮亮的朋友，小鳥畫得可逼真啦，一不留神那小鳥就會飛走。還有那個叫虎虎的小朋友可神氣啦，不管什麼樣的小汽車，也不管你弄出什麼毛病，到了他手裡，沒有修不好的。每當你遇到困難或者碰上什麼麻煩事兒，你總是想起你那些朋友，并找他們幫忙解決。

但是，你又可曾知道，在數學的王國裡，你也擁有一批朋友，隻不過你常常與它們失之交臂。數學是懂得感情的：你不理它，它也就不會理你。但你若喜歡它，它就會親近你。與數學交朋友的主陣地是課堂，你應将課堂上遇到的每一個知識點當作你結識的一個個新朋友。朋友越多，解決問題的途徑就越多，思路也越寬。你就不會把學習新知當作一種負擔，而是當作一種收獲。學習就不是越來越繁重，而是越來越輕松。

二是畫好起跑線，奮起直追。

從今天開始，與昨天告别，重新規劃自己的學習與生活，要讓人能看出你與昨天截然不同的分界線。

三是多回憶這樣一個故事。

雜交水稻之父是誰？——袁隆平。但你是否知道，中學時代的袁隆平曾經數學不及格！當然，後來數學非常優秀！

你是否也想數學非常優秀？我來告訴你秘訣，那就是： “過三關（三個支點）”、“闖六隘（六個環節）”、“練三招（三個模式）”。

當然，學習的進步是不可能一蹴而就的，這些方法能否見效，還得靠你付出艱辛的努力和不懈的堅持。如果它真能對你的學習有所幫助，那便是我的期盼和祝願。

如果你是學生家長，則你可以将文章直接推薦給小孩閱讀。但更好的方法是，在發現小孩學習中出現某個方面的問題時，再有針對性地介紹相關要點，這樣更能有效地引起小孩的心理認同。

最後，我想将我曾寫的一首小詩送給大家。盡管它不是名言，但也許明天它因為你而變成名言。那是因為，你可能受它的影響而成名成家。這首詩名叫“三句話”。

三句話

什麼都可以沒有，

因為——

“沒有”藴含着追求，

但唯獨不能沒有信心，

無論什麼時候！

什麼都可以丢失，

因為——

“丢失”意味着更新，

但唯獨不能丢失希望，

無論什麼處境！

什麼都可以回避，

因為——

“回避”孕育着進攻，

但唯獨不能回避吃苦，

無論什麼事情！

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