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在今天的故事開始之前，建議大家先閱讀我之前寫的前兩篇文章做鋪墊，防止今天的知識點變得突兀和難以理解。
今天，我們繼續來講級數，話不多說，讓我們看一個有趣的問題：
級數求和
這個級數很像我們的老朋友調和級數，可是它是交錯的，不都是“加法”：
我們的本能是想知道它的得數是多少，然而級數複雜之處就在于：你應該先判斷它是收斂還是發散的再算也不遲，否則極有可能無功而返。（想了解收斂和發散，建議大家先看我的第一篇文章）
于是，我們要進行數學分析了：
首先，上面那個通式等價于：
這種樣子的級數，我們叫它交錯級數
怎麼判斷這個交錯級數收斂還是發散呢？我們第二篇文章講過萊布尼茲判斂法
萊布尼茲判别法
代入上面的公式，我們有：
根據我們的萊布尼茲判别法，我們知道了它是收斂的。知道它收斂之後，那就好辦了。
怎麼做呢，我們直接敲個代碼進行實驗：
交錯級數求和c源代碼
我們已經知道了它趨于一個定值，收斂就是越加越小的，後面幾項不會超過前面了，我們用上面那個求級數的c語言加和前10000項，結果接近0.693147.....，我們發現，它其實就是ln2
多麼奇妙，多麼有趣的數學？
然而，這樣做是極不嚴謹的，雖然我們驗證了10000項求和的結果，然而這個級數是無窮無盡的數進行求和，所以我們需要一個證明。下面我就用數學的方法讓大家明白這個ln2究竟是怎麼得到的。
ln2不僅可以用實驗做出，也可以用理論算出（不過似乎有點問題），話不多說，先有請我們的泰勒公式上場：
我們把x換成-x：
我們對上面這個公式積分：
這裡，事情就變得有趣了，大家可以看一下：
我們發現：
這個積分有什麼問題嗎？x=1能直接帶進去嗎？
這裡出現了一個筆者也無法理解的問題：原來函數的定義域是（-1，1）取不到1，積分之後定義域居然可以把1帶進去了？
積分完之後定義域也應該不變才對，憑什麼現在可以帶1進去算結果呢？
我個人認為（這裡隻是個人看法，可能不對）：這裡的原因可能是，我們剛才證明了原來的級數在-1點收斂，說明這個點在函數的變化中是“光滑”的，于是我們對這個函數進行了合理的“延拓”，不過我并不認為自己的想法是對的。
聰明的讀者，你是怎麼理解的呢？歡迎留言讨論。
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