兩個數相加用加法交換律驗算?自然數有五條公理：公理一：0是自然數，現在小編就來說說關于兩個數相加用加法交換律驗算?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

兩個數相加用加法交換律驗算

自然數有五條公理：

公理一：0是自然數。

公理二：任何一個自然數n的後繼數也是自然數，用n 表示。

公理三：0不是任何自然數的後繼數。

公理四：兩個不同的自然數的後繼數不同。

公理五：歸納原理，即假設性質P對0成立，且當對n也成立時，能推倒出對n 也成立，那麼P對任意自然數都成立。

加法的運算定義：

一：任何一個自然數 n 加0 等于 n，即n 0 =n

二：n （m ）= (n m) 即自然數加上m的後繼數，為（n m）的後繼數。

證明a b = b a

首先，引入第三個自然數c，這樣會方便理解。通過加法運算的定義，我們知道c 0 = c，那麼0 c等于多少呢？這個到目前為止，根據五條公理和加法運算的定義，我們都不能推導出來，所以我們需要證明或者推導出 0 c = c。

那麼用到公理五：

當c = 0 時，有0 c = 0 0 = 0=c，其中0 0 = 0時使用了加法運算的第一條定義。

那麼當c不等于0時，假設 0 c = c，這時，我們就可以推導是c 的情況：

0 （c ）= （0 c） 加法運算的第二條定義。

（0 c） = c ，所以，0 c = c對c的後繼數 c 也成立，那就是有了結論一

0 c = c

其次,引入第四個自然數 d，還是為了方便理解。通過加法運算第二條定義，我們知道 n （d ）=（n d） ，但是我們目前還不知道 (n ) d 等于多少？這個時候，又要用到公理五來證明推導 (n ) d = (n d)

當d =0時，有 (n ) d = (n ) 0 = n = （n 0） =(n d) ，這是通過加法運算的第一條定義推導得出。所以當d =0時，(n ) d = (n d) 成立。

當d 不等于 0時，假設(n ) d = (n d) ，那麼，我們可以推導d 的情況：

(n ) (d )= [(n ) d] ,這是由加法運算的第二條定義得到的。

[(n ) d] = [(n d) ] , 這是通過假設(n ) d = (n d) 得到的。

同時，我們還知道通過加法運算的第二條定義，可以推出n (d )=(n d) ，所以

[(n d) ] = [n (d )]

所以，(n ) d = (n d) 對于d的後繼數 d 也成立。那就有了結論二：

(n ) d = (n d)

最後，回過來看 a b = b a

通過結論一（0 c = c），我們可以知道：

當a = 0 時，a b = 0 b = b =b 0，所以a b=b a成立。

那麼當a 不等于 0時，假設 a b=b a 成立，那麼，我們可以推導a 的情況：

(a ) b = (a b) 這是由結論二（(n ) d = (n d) ）得到的。

(a b) = (b a) 這是由假設得到的。

(b a) = b (a ) 這是由加法定義二的逆運算得到的。

所以，a b=b a 對a的後繼數 a 也成立。

那麼我們就可以得到最後的結論 a b=b a 對于一切自然數都成立。

加法運算的交換律a b=b a得以證明。

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