在三角函數的化簡求值中，有下列一類數學問題，如果巧妙地構造互餘型對偶式，可以使得問題的求解化繁為簡，出奇制勝，意想不到。同理，在數學的其他分支（特别是二項式）中，如果巧妙的構造二項式類型的對偶式，也可以簡便快捷解題過程，起到事半功倍之功效。下面通過有限的幾個客觀數學實例，抛磚引玉，以飨讀者。
【三角對偶式回歸】
（感悟）構造三角型對偶式（角度不變，名稱互餘）後，本題巧妙地回避了誘導公式與和差角公式，隻是完成小學級别的加減乘除運算。
（感悟）構造三角型對偶式（角度不變，名稱互餘）後，本題巧妙地回避了積化和差與誘導公式
，隻是進行簡單的加減乘除運算和初步的誘導公式。
此題有多種解法（正餘弦定理就是上上之策），今給出構造三角互餘型對偶式的簡潔解法如下：
（感悟）構造三角型對偶式（角度不變，名稱互餘）後，巧妙回避了和差化積公式，倍角公式，誘導公式，快捷的完成本題求解。
以上的“三角互餘型對偶式”是三角函數求值中的常見方法，具體方法是：先構造出與要求解的問題A結構完成一緻（角度相應不變化），但三角名稱互餘的對偶式B，然後通過A與B之間的内在關聯（加減乘除）關系，求得A的三角函數值。
【二項對偶式探究】
下面是“二項型對偶式”在數學其他分支（二項式展開）中的具有靈活應用的親身體會：
（感悟）本題是一個著名的不等式（是初級次幂均值不等式的推廣），有許多不同的巧妙求解方法，但在此，我們創造性的給出“二項型對偶式”的巧妙解題方法。
（感悟）本題是一道傳統典型的二項式計算題目，變量賦值是完成二項式一般系數和的常用方法，但是這裡，卻巧妙的通過構造二項型對偶式完成了快捷求解。
（感悟）本題是一道傳統典型的二項式競賽計算題目，在平時的競賽培訓中，一般都是引進複數，利用二項式通項就，進行按部就班的求解。但是，此次卻給出了巧妙的二項型對偶式，對數利用複數的特征與計算，完成快捷計算。
（感悟）構造二項型對偶式，利用展開式的奇數項和，與偶數項和之間的關系，快捷解答。
（感悟）構造二項型對偶式，利用展開式的奇數項和，與偶數項和之間的關系，快捷解答。
【挑戰自我】
（感悟）構造三角型互餘式，利用誘導公式，快捷計算。
（感悟）構造二項型互餘式，并完成變量換元，結合二項式結構特征，快速求解。
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