小船渡河問題

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小船渡河問題

可以基于以下幾點進行理解和分析

（1）将船的實際運動看成船随水流的運動和船在靜水中的運動的合運動．船的航行方向是實際運動的方向，即合速度的方向．

（2）如下圖所示，v水表示水流速度，v靜水表示船在靜水中的速度，将船在靜水中的速度v靜水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，則v水－v靜水cos θ為船實際上沿水流方向的運動速度，v⊥＝v靜水sin θ為船在垂直于河岸方向的運動速度．兩個方向的運動情況相互獨立、互不影響．

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兩類渡河問題

（1）渡河時間最短問題

問題:船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水．船怎樣行駛才能使過河時間最短呢？最短時間是多少呢？

解決:為船任意選擇一個行駛方向進行研究，如下圖所示，船頭與河岸的夾角為θ．那麼，船速可以分解為：用以過河的v1和順流而下的v2，v1垂直于河岸，v2平行于河岸．

v1=v船sin θ

v2=v船cos θ

（1）從物理角度分析，順流而下的速度v2對過河毫無意義，他疊加到水速的效果上，隻是使船沿河向下遊的速度變大了而已．隻有v1才有意義．那麼當船頭垂直于河岸行駛時，速度就不會浪費了，所以船頭應該垂直于河岸行駛．

（2）從數學角度分析，當90°時，v1最大，過河時間最短．

以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：

敲黑闆！！！同學們看過來啦！

雖然這樣過河時間最短，但是，位移不是最短的哦！小船真實的運動軌迹如下圖所示．

（2）渡河位移最小問題

問題1:船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水，v船>v水．船怎樣行駛才能使過河的位移最短呢？最短位移是多少呢？過河時間是多少呢？

分析:船即使不開動自己的動力，也能獲得一個水給它的速度v水，即船順流而下．船還有自己的動力能産生速度v船．

船頭朝向不同，船行駛的真實軌迹就會不同，這樣船可以行駛出無數條軌迹．很明顯其中垂直于河岸的軌迹位移最短．

解決1:

①合成法

水給予船的漂流速度大小和方向不變，為了使船的真實軌迹垂直于河岸，就需要通過調整船頭方向，使船速與水流速合成一個垂直于河岸的實際過河速度，如下圖所示．其中：設船與河岸的夾角為α，則

②分解法

為了抵消水流的影響，船必須有一個逆流而上的速度v船1，且v船1=v水，另外船還必須有一個垂直于河岸過河的速度v船2，它們是v船的兩個分速度．所以，船頭必須沿斜向上遊方向行駛．設船與河岸的夾角為α，則

以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：

敲黑闆！！！同學們看過來啦！

雖然這樣過河位移最短，但是，時間不是最短的哦！

問題2：船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水，v船<v水．船怎樣行駛才能使過河的位移最短呢？最短位移是多少呢？過河時間是多少呢？

分析：船是否能垂直河岸過河呢？因為v船<v水，所以船即使全力以赴也不足以對抗河流給它的影響．不論船頭方向如何，總是被水沖向下遊，即v合一定會偏向河流下方．船走不出垂直于河岸的軌迹．

雖然走不出垂直于河岸的軌迹，但是由于船頭不同的指向，依然可以走出無數條不同的軌迹，在這些軌迹中跟河岸的夾角最大的軌迹位移最短．

解決2:當船頭指向與水流方向成θ角時，依據運動合成的平行四邊形定則，船的實際運動速度v合表示如圖．

應用矢量三角形法則，平移v船，使v船和v水首尾相接，連接v水的首端和v船的尾端的有向線段就是v合．

随着船頭指向變化，v船繞着v水的尾端形成一個半圓，v水不變，v合的大小與方向均發生變化．當v合與半圓相切時，與河岸的夾角最大，這時船過河的位移最短．

當v合與半圓相切時，v合與v船成直角，設船頭跟河岸的夾角為α，則有：

cos α=v船/v水，（α與θ互補）

v合=v水sin α

最短位移xmin＝d/cos α

過河時間t=d/（v船sin α）

敲黑闆！！！同學們看過來啦！

當面對複雜問題沒有頭緒的時候，聰明的人總是先任選一種情況進行探索，找一下規律，例如剛才我們就是通過研究船頭與河水流向成θ角時的情況找到了解決問題的方法．

下面包sir還為大家準備了一個關于小船如何渡河距離最短的視頻，希望看完同學們對此類題目能有更直觀的感受~

示範例題

例題1.（解析題）小船要渡過200m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s．

（1）若小船的船頭始終正對對岸，它将在何時、何處到達對岸？

（2）要使小船到達正對岸，應如何航行？曆時多久？

（3）小船渡河的最短時間為多少？

（4）若水流速度為5 m/s，船在靜水中的速度為3 m/s，則怎樣渡河才能使船駛向下遊的距離最小？最小距離為多少？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，結果取整數）

【答案】

（1）50s時在正對岸下遊100m處靠岸；

（2）船頭與上遊河岸成60° ; 曆時

（3）50s

（4）船頭與上遊河岸的夾角為53°；最小距離為267m；

【解析】

（1）小船渡河過程參與了兩個分運動，即船随水流的運動和船在靜水中的運動．因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河時間等于它在垂直河岸方向上的分運動的時間，即

小船沿水流方向的位移

s水＝v水t⊥＝2×50m＝100m

即小船将在正對岸下遊100m處．

（2）要使小船到達正對岸，即合速度v應垂直于河岸，如下圖所示．

則

（3）考慮一般情況，設船頭與上遊河岸成任意角α，如下圖所示．

小船的渡河時間取決于小船垂直于河岸方向上的分速度

v⊥＝v靜水sin α

故小船渡河時間為

當α＝90°，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為tmin＝50s．

（4）因為v′靜水<v′水，所以小船不可能垂直河岸橫渡．如下圖所示．

設船頭（v′靜水）與上遊河岸成β角，合速度v′與下遊河岸成γ角，可以看出γ角越大，船駛向下遊的距離x′越小．以v′水矢量的末端為圓心，以v′靜水的大小為半徑畫圓，當合速度v′與圓相切時，γ角最大．

代入數據解得

x′≈267m．

點撥

小船渡河問題主要考查合運動與分運動的關系，要弄清物理情境．要使小船渡河的時間最短，隻要小船在靜水中的速度方向垂直河岸即可，但是求渡河的最小位移時，要注意小船在靜水中的速度與水流速度的大小關系，選用不同的分析方法．在分析求解具體問題時，要明确小船渡河時其航行的方向為合速度的方向，這是解答此類問題的關鍵．

内容摘自：包學習APP_動态教輔《 運動的合成和分解 要點2 小船渡河問題（人教新版 必修2 第5章 第2節 ）》，歡迎下載學習更多知識

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