角平分線定理及其證明
在三角形中有一個角平分線定理，說的是：在三角形ABC中， 角A的平分線是AD， D在變BC上， 将BC分成BD=m, CD=n, 那麼有c/m=b/n, 或者寫成c/b=m/n. 該定理的逆定理也是成立的。
如果将這個定理與斯圖爾特定理結合起來，可以求出角的平分線的距離：
關于斯圖爾特定理的證明，請參見頭條的另一篇文章,斯圖爾特定理的證明。
現在我們證明三角形角平分線的定理。
在三角形ABD和ACD中利用正弦定理有：
因為AD是角BAC的角平分線， 所以有∠BAD=∠CAD，
這樣分母中的sin(BAD)=sin(CAD),
此外∠BDA ∠CDA=180°
因此有：
Sin(BDA)=Sin(CDA)
也就是上述的等式分子也相等，
因此：
有關角的平分線長度公式，讀者根據斯圖爾特公式可以用mb=cn替換後，提取公因式并約掉m n, 即可以證明。
有關角平分線的逆定理的證明，可以用假定法證明，即D點不是角分線上的點，那麼一定存在另一個點D’ 是角分線上的點， 然後根據比例關系的唯一性，由此證明D與D’重合，由此證得逆定理成立。
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