靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 174

拳擊淘汰賽

考慮組織一場拳擊淘汰賽。共有114名選手參加，所以第一輪有57對選手。第二輪比賽中，57名晉級的選手組合形成28對，一名選手輪空晉級(即不用參加這一輪比賽)。獲勝的29人再次組合，依此繼續。

(1)需要進行多少場比賽以決出冠軍？

(2)如果有n名選手參賽，一共需要進行多少場比賽？(n是确定的整數，但未指明)

上期問題回顧

NO. 173

質數平方和

已知n個大于3的質數平方和可以被24整除，問n的最小值是多少？

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分析與解答

答案：n的最小值為24。

我們用p 來表示大于3的質數。

1、首先我們來證明：p²-1 能被8整除。

因為大于3的質數都是奇數，設p=2n 1，則

因為n(n 1)是連續兩個整數的積，它一定能被2整除，所以p²-1能被8整除。

2、因為p-1，p，p 1是三個連續的整數，所以其中一定有一個是3的倍數，而因為p是大于3的質數，它一定不是3的倍數，故p-1，p 1中必有一個是3的倍數，因此p²-1也一定能被3整除。

從而p²-1能被24整除，也就是說p² 除以24的餘數為1。

3、當有24個質數的平方相加時，其和才能被24整除，所以n的最小值為24。

分析與解答

◎題友 @廣州華龍教育謝的解答：

答案是24個 先證明大于3的奇數平方減1能被8整除，設P為大于3的奇數，P²-1=(P 1)×(P-1)，因為P是奇數，所以P 1和P-1是兩個連續的偶數，必然一個能被2整除，一個能被4整除，所以它們的積能被8整除，質數都是奇數。 然後證明，與大于3的質數相鄰的數能被3整除，因為質數隻能被1和它本身整除，所以它不是3的倍數，P-1、P、P 1是連續的三個數，所以P-1或P 1中必有一個能被3整除。 可得，大于3的質數平方減1能被24整除，因為P-1或P 1中的一個能被3整除，它們的積又能被8整除，所以P²-1能被24整除。 到了這裡就簡單了，把大于3的質數平方寫成(P²-1) 1，其中P²-1是能被24整除的， 1不斷累積，到 24的時候就能寫成24×(P²-1) 24，就能被24整除了。 所以答案是24個

◎題友 @天道酬勤的解答：

設大于3的質數是p。 先證明p^2-1是24的倍數。p^2-1=(p 1)(p-1) 。因為p是大于3的質數,p一定不是3的倍數,并且p是奇數。所以p 1,p-1是兩個連續的偶數,必定是8的倍數。p不是3的倍數,p 1,p-1必定有一個是3的倍數 。所以p^2-1是24的倍數。 因此，p^2除以24餘1，至少要24個數之和才能被24整除。

◎題友 @樂樂的解答：

n最小為24。大于3的質數都是奇數，奇數的平方被8除餘1，要能被8整除，n需為8的倍數；大于3的質數都不能被3整除，不能被3整除的數的平方被3除餘1，要能被3整除，n需為3的倍數；所以n需為24的倍數。根據上面分析不難得出任意24個大于3的質數的平方和都能被24整除

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