今天，就來一起探讨這道經典的題：

“1×2×3×4×……×99×100即連續的100個數相乘，積的末尾有幾個連續的0”。

那這個題怎麼思考？難道要把這些數都乘起來，這的确是個愚公移山的辦法，但不夠巧妙也比較耗時。

那首先審題，要求的是100個連續的數相乘，末尾連續0的個數。思考一下：什麼樣的數乘起來末尾有0？

這是乘法算式中一個基本知識，如果乘法算式中的兩個因數中，一個含有因數2，另一個含有因數5，則它們的積一定是10的倍數，末尾就有0。

這題的方法當然不唯一，我們先看看容易錯誤的情況：20個0、21個0等

有同學會先化繁為簡，以小見大。先思考連乘個數少的情況，進而尋找規律：

先看看1×2×3……×10，積末尾幾個0。這裡2×5等于10,10×10等于100。所以有2個0。

再看看1×2×3……×20，積末尾幾個0。這裡11到20這幾個因數中有15和20，找到因數2乘在一起又出現2個0。所以一起有4個0。

再看看1×2×3……×30，積末尾幾個0。這裡21到30這幾個因數中有25和30，找到因數2乘在一起又出現2個0。所以一起有6個0。

……

進入歸納推理，這100個數相乘，分成10組，每組出現2個0，所以1×2×3……×100，積末尾20個0。

也有同學這樣分類思考：

這100個數當中，能夠和2乘起來出現0的隻有5的倍數，而5的倍數特征就是數末尾有5和0。所以找出這些數就可以：

末尾有5:5、15、25、35、45、55、65、75、85、95，一共10個數。

末尾有0:10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，一共10個數。

所以1×2×3……×100，積末尾20個0。或者有同學發現100這個數特殊，有2個0.所以積末尾應該21個0。

其實，上面的錯誤比較典型。其實學生已經有些思路，但卻未注意到同樣是5的倍數，但含有因數5的個數是不一樣的。我們先理清一些事實：

1.在這100個數當中，含有因數2的數很多，隻要是偶數至少含有一個因數2，也就是2的因數個數顯然多于5的因數個數。所以到底産生多少個0是有5的個數決定的。有幾個5，就可以組成幾個5×2，乘積的末尾有幾個0。

2.再看看1~100中有多少個5的倍數？

連續自然數中每5個數就會有一個5的倍數。100÷5=20（個），得到一共有20個5的倍數。

但這些5的倍數可以再分分類：

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100。

含有一個質因數5的數：16個

含有2個質因數5的數：4個

25=5×5；50=5×5×2；75=5×5×3；100=5×5×2×2

25、50、75、100都是25的倍數，有4個。也可以用100÷25=4（或20÷5=4）計算。這四個數也就能分解2個質因數5出來。

所以，雖然隻有20個5的倍數，但含有5的因數個數确是：16×1 4×2=24（個）。

或者這樣思考：20個5的倍數都能分出一個5，就是20個。但25、50、75、100這四個數還可以再分出一個5，所以共有20 4=24(個）。

所以，積的末尾就有24個0.

現在再看之前的錯誤，就容易發現錯誤的原因是未注意25的倍數這四個數，其實能夠乘得2個0。所以20、21個0都是錯的。

讀到這，應該可以獨立嘗試一題：

“1×2×3×4×……×99×500即連續的500個數相乘，積的末尾有幾個連續的0”。

這道題數據從100個數連乘變成500個數連乘，看似變得複雜多，但思路是一樣的。但的确又容易出錯。

第一步：先求出5的倍數個數：500÷5=100（個）

第二步：在這100個數中，還要篩選出一些數。這些數是25（5×5），125（5×5×5）的倍數。

25的倍數個數：500÷25=20個或（100÷5=20）

125的倍數個數：500÷125=4個或（20÷5=4）

最終，含義因數5的個數一共：100 20 4=124（個），所以積的末尾有124個0。

顯然，這題和上題的區别就在于出現125的倍數。否則容易遺漏4個0。

最後，根據之前的分析，再思考以下幾個變式的題，期待你的挑戰！

題1：“1×2×3×4×……×999×1000即連續的1000個數相乘，積的末尾有幾個連續的0”

題2：“1×2×3×4×……×2019×2020即連續的2020個數相乘，積的末尾有幾個連續的0”

題3：把若幹個自然數1、2、3……連乘到一起，如果已知這個乘積的最末53位恰好都是0，那麼最後出現的自然數最小應該是多少？最大是多少？

題4:20的n次方是2001×2000×1999×……×1的因數，自然數n最大可以是幾？

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