第1課時

教學内容

教科書P61例5,完成教科書P63~64“練習十一”中第3、4、6、7題。

教學目标

1.能正确判斷情境中的兩種量是否成正比例關系，并能用正比例的意義解決實際問題。

2.在經曆問題解決的過程中，培養學生分析問題和解決問題的能力，發展學生的思維能力。

3.學會從不同的角度思考問題，溝通“算術法”與“比例方法”的聯系和區别，發展探究解決問題策略的能力。

教學重點

掌握用正比例的意義解答基本應用題的方法與步驟。

教學難點

利用正比例關系列出含有未知數的等式。

教學準備

課件。

教學過程

一、複習正比例的意義，激活經驗

1.複習成正比例的量。

師：誰能說一說生活中有哪些成正比例關系的量？

【學情預設】預設1：速度一定，路程與時間成正比例關系。

預設2：單價一定，總價與數量成正比例關系。

預設3：工作效率一定，工作總量與工作時間成正比例關系。

……

師：判斷兩種相關聯的量是不是成正比例關系的關鍵是什麼？

【學情預設】兩種相關聯的量的比值一定，這兩種量就成正比例關系。

【設計意圖】通過描述生活中常見的成正比例關系的量，喚起學生對舊知識的回憶，鞏固判斷兩個量成正比例關系的關鍵要素，同時為新知的學習作準備。

2.揭示課題。

師：生活中成正比例的量有很多，今天這節課我們來學習用正比例知識解決生活中的實際問題。［闆書課題：用比例解決問題（1）］二、提出問題，探索用正比例知識解決問題

1.閱讀與理解。

課件出示教科書P61例5。

師：通過上圖，你知道了什麼？要解決什麼問題？

【學情預設】張大媽家上個月用了8t水，水費是28元；李奶奶家用了10t水。要求李奶奶家上個月的水費是多少錢。

師：你能解決這個問題嗎？試一試。

學生獨立思考，完成解答。

2.分析與解答。

(1)教師收集學生用算術法解決問題的方法進行彙報交流。

【學情預設】預設1：先算出每噸水的價錢，再算10t水的總價。

28÷8×10

=3.5×10

=35(元)

預設2：先求出用水量的倍數關系，再求總價。

10÷8×28

=1.25×28

=35(元)

【教學提示】

在解決實際問題的過程中，大膽放手讓學生自主探索。使學生經曆“閱讀與理解——分析與解答——回顧與反思”的過程，指導學生學會用正比例解決問題的方法，積累解決問題的經驗。

【設計意圖】讓學生獨立思考，并利用已有的知識解決問題，激活學生已有的解決問題的經驗，為用比例解決問題作準備。

(2)探讨用正比例解決問題的方法思路。

教師闆書展示學生用正比例知識解決問題的方法。

解：設李奶奶家上個月的水費是x元。

師：剛才我還發現有的同學列出比例來解決這個問題，你知道他是怎麼想的嗎？如果有疑問，可以向這位同學提問。

【學情預設】指導學生在交流互動中明确：在這道題中，因為水的單價一定，所以水費和用水的質量成正比例，也就是兩家的水費和用水的質量的比值是相等的。

師：根據大家的分析，我們知道了這道題中的水費和用水的質量成正比例關系，你能再完整地說一說是怎樣判斷的嗎？（出示課件）

【學情預設】學生完整表達：題目中相關聯的兩種量是水費和用水的質量，水的單價一定，水費和用水的質量成正比例關系，用關系式表示是=水的單價。(闆書：=水的單價)

(3)嘗試列出其他比例解決問題。

師：你還能列出其他的比例解決這個問題嗎？

【學情預設】學生可能呈現以下解法：

【教學提示】

讓學生互動交流，弄清用比例解決問題的思路，學會傾聽，并理解用正比例解決問題的關鍵是根據題目中的情境列出數量關系，找到“不變量”。

解：設李奶奶家上個月的水費是x元。

解：設李奶奶家上個月的水費是x元。

教師指導學生說出列比例的思路，例如用水的質量比等于水費的比，要強調比例中對應數量之間的對應關系。

3.回顧與反思。

師：你認為李奶奶用了10t水的水費為35元錢,這個答案符合實際嗎？你是怎麼檢驗的？

（1）學生小組讨論，彙報結果。

【學情預設】将答案代入到比例式中進行檢驗。

(2)溝通“算術法”與“比例法”的聯系。（出示課件）

師：比較“算術法”與“比例法”，你有什麼發現？

【學情預設】學生可能會說，算術法先算的是水的單價，再求10t水的總價，而比例法也是根據水的單價不變來列出比例的。

師小結：兩種方法在計算求解時殊途同歸，但算術法必須求出那個不變的量的具體值，而比例法隻需要根據數量關系表示出這個不變量即可，思維過程更具有廣泛性、一般性。

(3)變式練習，鞏固用比例解決問題。(出示課件)

【教學提示】

引導學生通過兩種方法的比較，突出比例法解題的特點和優勢，培養學生根據實際需求優化解題方法的意識。

師：請你用比例的方法試着解決這個問題。

學生獨立完成後交流，指名學生闆演。

解：設王大爺家上個月用了xt水。

指導學生明确：雖然未知量變了，但題中水費和用水的質量的正比例關系沒變。如果學生列出其他的比例，隻要比例中對應數量之間的對應關系是正确的都要予以肯定。

(4)歸納用正比例解決問題的一般方法。

師：你能總結一下，用正比例解決問題的步驟是什麼嗎？

師生一起交流後總結：

① 根據不變量，判斷題中哪兩種相關聯的量成正比例關系。

②找出兩組相對應的數，并設出未知數，列出比例。

③解比例。

④檢驗并寫出答語。

【設計意圖】通過找相關聯的量、列比例解答并檢驗等過程，給學生自主分析問題和解答問題的空間，讓學生在理解正比例意義的基礎上列出比例,之後再引導學生檢驗反思,溝通“算術法”與“比例法”的聯系，引導學生多角度去思考問題，尋求解決問題的不同策略。總結歸納用正比例解決問題的步驟，初步積累解決此類問題的經驗。

三、實際應用，提高能力

1.完成教科書P63“練習十一”第3、4題。

學生獨立完成後，在小組内交流再彙報。

【學情預設】在彙報時，要求學生說出題目中哪兩種量成正比例關系，并列出關系式，再根據關系式列出比例解答。第3題中，可以列出比例，小蘭的身高∶小蘭的影長=樹高∶樹的影長或小蘭的影長∶小蘭的身高=樹的影長∶樹高。第4題可以由“運行時間∶運行周數”的比值不變列出相應比例。

2.完成教科書P64“練習十一”第6、7題。

師：你能解決這兩個問題嗎？趕緊動手試一試吧！

學生獨立完成後，集體交流訂正。

【學情預設】這兩道題都是用正比例知識解決問題，根據“路程∶時間=速度”列出比例解答。學生可能出現數量不對應的情況，教師可以提示學生在解決問題之前用列表法将信息進行整理，這樣可以避免列比例出錯。第6題的方法比較靈活，展示交流時注意不同的思路:可以計算出行1600km所用的時間，與6小時進行比較；也可以計算6小時可行的距離，與1600km進行比較。

師：如果把第7題的問題改為“按照這樣的速度，行完全程還需多少小時？”，你會用比例解答嗎？

【學情預設】引導學生根據“路程∶時間=速度”的關系來列出比例，隻是求行完全程還需多少小時，對應的路程不再是90km，而是(90-30)km。如果學生說出先求按照這樣的速度，行完全程需要多少小時，然後再減去已經行駛的2小時，這種方法也是可以的。

【設計意圖】通過用正比例解決問題，使學生熟悉解決這一類問題的步驟與方法。知道找到題目中的不變量，确定哪兩種量成正比例關系，再根據正比例關系列比例解答。

四、課堂小結

師：回顧今天的學習過程，你們有什麼收獲呢？

闆書設計

【教學提示】

用列表法整理信息時，要注意信息的對應。

教學反思

在教學中，我們經常發現學生并不喜歡用比例解決問題，究其原因：其一，學生覺得書寫麻煩;其二，确定正反比例關系存在困難。在教學中怎麼避免學生把比例當作“麻煩比例”？我們可以溝通算術方法與用比例解決問題的方法之間的聯系，開放解決問題的思路，使學生把已有經驗和新方法有效對接，在辨析交流中讓學生對多種策略逐步理解和内化。還要注意以正比例解決問題為主要着力點，讓學生經曆解決問題的過程，使學生在解決問題的基礎上進行方法的提煉和總結，體會此類問題解決的關鍵和策略，提高解決問題的能力。

第2課時

教學内容

教科書P62例6,完成教科書P64“練習十一”中第5、8、9、12題。

教學目标

1.能正确判斷情境中的兩種量是否成反比例關系，并能用反比例的意義解決實際問題。

2.在用比例解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略的多樣化，培養和發展學生的發散性思維。

3.進一步理解反比例的意義，知道列成乘積一定的等式，也是運用反比例方法解題的一種表現方式。

教學重點

掌握用反比例的意義解答基本問題的方法與步驟。

教學難點

利用反比例關系列出含有未知數的等式。

教學準備

課件。

教學過程

一、複習反比例的意義，激活經驗

1.複習成反比例的量。（課件出示習題）

【學情預設】預設1：速度一定，路程與時間成正比例關系。

預設2：路程一定，速度和時間成反比例關系。

預設3：總價一定，買水果的數量和單價成反比例關系。

預設4：運貨的總量一定，汽車的載質量和運的次數成反比例關系。

師：判斷兩種相關聯的量成反比例關系的關鍵是什麼？

【學情預設】兩種相關聯的量的乘積一定，這兩種量就成反比例關系。

【設計意圖】通過判斷各題中的兩種量成什麼比例關系的練習，喚起學生對舊知識的回憶，鞏固判斷兩種量成反比例關系的關鍵要素，同時為新知的學習作準備。

2.揭示課題。

師：上節課我們學習了用正比例的知識解決問題，今天這節課我們來學習用反比例知識解決生活中的實際問題。［闆書課題：用比例解決問題（2）］

二、提出問題，探索用反比例知識解決問題

1.閱讀與理解。

課件出示教科書P62例6。

師：從題目中你知道了哪些數學信息？

【學情預設】預設1：知道了原來平均每天照明用電100千瓦時，改用節能燈以後，現在平均每天隻用電25千瓦時。要解決的問題是：原來5天的用電量現在可以用多少天。

預設2：我用表格來整理信息，更加一目了然。

師：大家用自己的方式整理了信息，現在你能解決這個問題嗎？試一試。

學生獨立思考，完成解答。

2.分析與解答。

【教學提示】

引導學生經曆解決問題的完整過程。指導學生進一步掌握如何梳理條件，如何分析條件與問題的聯系，如何确定兩種量及兩種量的關系。

(1)教師收集學生用算術法解決問題的方法進行彙報交流。

【學情預設】預設1：先求出總用電量，再求現在的用電天數。

100×5÷25

=500÷25

=20(天)

預設2：先求出每天用電量的倍數關系，再求現在的用電天數。

100÷25×5

=4×5

=20(天)

【設計意圖】讓學生利用已有的知識解決問題，激活學生已有的解決問題的經驗，結合第一種方法提問：這種方法是抓住什麼量不變？引導學生說出總用電量不變，為研究用反比例解決問題作鋪墊。

(2)探讨用反比例解決問題的方法思路。

教師闆書展示學生用反比例知識解決問題的兩種方法。

【學情預設】預設1：解：設原來5天的用電量現在可以用x天。

預設2：解：設原來5天的用電量現在可以用x天。

師：剛才我還發現有的同學列出比例來解決這個問題，請你仔細觀察，說說你的想法。

【學情預設】學生在交流時可能會出現兩個問題：一是知道第一個解答是錯誤的，但并不知道為什麼錯；二是對第二種解答質疑，這不是比例，認為比例等号左右兩邊都是比，而25x與100×5都不是比，因此這樣的比例不成立。

【教學提示】

學生對于用反比例知識解決問題一直有一個困惑，就是像25x=100×5這樣的等式是不是比例。通過辨析，可讓學生明确：用比例的方法解決問題，并非一定要将式子列成比例，我們可以根據反比例的意義，列出乘積相等的等式。反之，根據比例的基本性質，這樣的等式也一定能組成比例。

師：看來大家有很多疑惑，這樣吧，我們回到題目的信息當中，看看大家提出的問題能否得到解決。(出示課件)

【學情預設】引導學生完整表達：題目中相關聯的兩種量是平均每天用電量和天數，用電總量一定，也就是它們的乘積一定。所以平均每天用電量和天數成反比例關系，用關系式表示是：平均每天用電量×天數=總用電量。(闆書：平均每天用電量×天數=總用電量)

師：經過分析，我們找到了題目中成反比例的兩種量，就可以根據反比例關系來列出等式解決問題了。我要告訴大家，兩種相關聯的量，如果對應兩個數的積一定，反比例關系就成立，列成乘積一定的等式，也是運用反比例方法解題的一種表現方式。現在你知道哪一種方法是正确的嗎？

【學情預設】學生會說第二種解答是正确的。教師追問：那你知道第一種解答錯在哪了嗎？引導學生說出比例左邊與右邊的比值意義不同，所以不成比例。（教師擦除闆書中錯誤的解法）

【設計意圖】通過兩種解答方法的比較，幫助學生理解用反比例知識解決問題的思路與方法，進一步理解反比例的意義。

(3)師生一起利用反比例關系解決問題。

教師指導學生說出解題的思路，即根據平均每天用電量×天數=總用電量列乘積相等的等式解決問題。

3.回顧與反思。

師：你認為原來5天的用電量現在可以用20天,這個答案符合實際嗎？你是怎麼檢驗的？

（1）小組讨論，彙報結果。

【學情預設】将答案代入到等式中進行檢驗，明确解這個問題的關鍵是找到哪兩個量的乘積一定，隻要這兩個量的乘積一定，就可以用反比例關系解答。

【教學提示】

回顧與反思是提煉方法、總結經驗的重要環節。要重視這個環節的指導。

(2)溝通“算術法”與“比例法”的聯系。（出示課件并适時闆書）

師：比較“算術法”與“比例法”，你有什麼發現？

【學情預設】學生可能會說，算術法先算的是總用電量，而比例也是根據總用電量不變的關系來解決問題的。

師小結：兩種方法在計算求解時殊途同歸，隻要用“原來每天用電量×原來天數=現在每天用電量×現在天數”這一關系式，知道其中的三個量，用算術法和比例法都能解決這個問題。

【設計意圖】通過兩種方法的比較，幫助學生溝通兩種方法之間的聯系，感受到用代數方法解決問題的一般性，明确用反比例解決問題的意義。

(3)變式練習，鞏固用反比例解決問題。（出示課件）

師：請你用比例的方法試着解決這個問題。

學生獨立完成後交流，指名學生闆演。

【學情預設】解：設現在30天的用電量原來隻夠用x天。

100x=25×30

x=750÷100

x=7.5

指導學生明确：雖然未知量變了，但題中“平均每天用電量×天數=總用電量”的關系沒變。

(4)比較用正、反比例解決問題的一般方法。

師：回憶一下，用正比例解決問題的步驟是什麼？想一想今天用反比例解決問題的步驟，是一樣的嗎？

師生再次總結：

①根據不變量，判斷題中哪兩種相關聯的量成正比例或反比例關系。

②找出兩組相對應的數，并設出未知數，列出相應的等式。

③解方程。

④檢驗并寫出答語。

【設計意圖】溝通正、反比例解決問題的聯系，使學生在辨析中明确解決此類問題的步驟和策略，創建新的認知結構，使學生對用比例解決問題有進一步的認識。

三、實際應用，提高能力

1.完成教科書P62“做一做”第1、2題。

學生獨立完成後，在小組内交流再彙報。

【學情預設】第1題：題目中的不變量是圓珠筆的單價，總價與數量成正比例關系，根據總價÷數量=單價來解決問題。

第2題：題目中的不變量是買圓珠筆的錢，數量與單價成反比例關系，根據數量×單價=總價來解決問題。

師：這兩道題中都有單價、數量和總價，為什麼一個用正比例來解決，一個用反比例來解決呢？

【學情預設】引導學生明确：因為兩道題中的不變量不同，相關聯的量也不同，它們所成的比例關系不同，所以用不同的比例知識來解決問題。

2.完成教科書P64“練習十一”第5、8、9題。

師：你能解決這幾個問題嗎？趕緊動手試一試吧！

學生獨立完成後，集體交流訂正。

【學情預設】這幾道題都是用反比例知識解決問題，彙報時要求學生說出：題目中的不變量是什麼，哪兩種量成反比例關系，數量關系式是什麼。

第5題：工作總量一定，每天工作的時間與天數成反比例關系，每天工作的時間×天數=工作總量。

第8題：這本文學名著的總頁數一定，每天讀的頁數與天數成反比例關系，每天讀的頁數×天數=總頁數。

第9題：收割的總面積一定，每小時收割的面積與收割時間成反比例關系，每小時收割的面積×收割時間=收割的總面積。第二問中要求共産小麥多少噸，就要先求小麥的總面積。第三問比較開放，可以提示學生首先對前面的信息進行整合和分析，再根據數量關系提出問題。例如：如果每小時收割0.5公頃，多少小時能完成任務？同樣也利用反比例關系來解決。

3.課件出示教科書P64“練習十一”第12題。

學生獨立解答後彙報交流。

【學情預設】

師：這裡有兩種不同的解法，你認為誰的解法是正确的呢？

【學情預設】預設1：第一種是錯誤的，因為他是用方磚的邊長×塊數，這個積不是表示客廳的面積。

預設2：第二種是正确的，因為在這道題中，客廳地面的面積是不變量，所以每塊方磚的面積與塊數成反比例關系。

師：我們在用比例解決問題時，要想清楚什麼是不變量，這個量是怎麼得到的，然後根據數量關系式列出正确的比例解答。

四、課堂小結

師：回顧今天的學習過程，你們有什麼收獲呢？

【教學提示】

指導學生用反比例解決問題，熟悉解決這一類問題的步驟與方法。知道要先找到題目中的不變量，确定哪兩種量成反比例關系，再根據反比例關系解答。

教學反思

本課教學設計與用正比例解決問題類似，但在這節課中可以讓學生自主遷移已有的知識經驗，主動探究用反比例知識解決實際問題的方法。例如，如何梳理條件，如何分析條件與問題之間的聯系，如何确定兩種量及兩種量之間的關系等。在這節課中，學生解決問題的思路更清晰，表達更簡潔、準确，能從不同角度來思考并解決問題，能力得到明顯的提高。教師要注重引導學生對正、反比例兩類問題進行溝通和對比，體會解決問題思路的一緻性。

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