本文介紹求餘弦函數y=cosax在一個周期内與x軸圍成的面積。
通過學習微積分,利用定積分的知識可以求出規則曲線,例如餘弦函數y=cosax與x軸圍成的面積,由于餘弦函數為周期函數,通過求一個周期内函數的面積,即可求出任何區間範圍内的面積。
解:根據題意,該餘弦函數的最小正周期T=2π/|a|.在第一象限内的一個周期内,餘弦函數與x軸上下兩部分的面積相等,則整個面積等于1/4個周期内的面積的4倍。
又因為餘弦函數為偶函數,所以a的正負不影響面積公式。研究時,不妨設a>0,則在1/4個周期的區間:[0,π/2a]的面積計算公式為:
面積=4∫(0, π/2a)cosaxdx
=(4/a)sinax (0, π/2a)
=4/a平方單位。
1.舉例子一:求y=cos2x在區間【0,π】上與x軸所圍成的面積。
解:根據題意,可求出餘弦函數的最小正周期為T=2π/2=π,所給區間剛好是其一個周期内,所以面積為:
面積=4∫(0,π/4)cos2x dx
=4∫(0,π/4)cos2xd2x
=2sin2x (0,π/4)
=2平方單位。
2.舉例子二:求y=cos(-4x)在其一個周期内與x軸圍成的面積。
解:根據題意,函數變形為:y=cos(-4x)=cos4x.最小正周期T=2π/4=π/2.則面積為:
面積=4∫(0,π/8)cos4xdx
=sin4x (0,π/8)
=1平方單位。
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