當在幾何圖形中出現特殊角時，就會有給圖形帶來特殊的性質，相關幾何問題的求解就會有相應的竅門。今選編三例含150º角的幾何問題，來說說這類題目的求解小技巧：

【例一】（如圖）在Rt△ACB中，∠ACB=90º，AC=8√2，BC=6√2，CD為∠ACB的平分線，點P在CD上，且∠APB=135º，求：線段CP的長

【簡解】

（1）由已知可得AB=10√2，作△ACB的外接圓

（2）由己知可得：AB為該圓直徑，延長CD交圓于點Q，連接QA、QB，則：∠AQB=90º，由∠ACQ=∠BCQ=45º，∴AQ=BQ=10

（3）由QA=QB，∠APB=135º，∠AQB=90º，易證：點Q為△APB的外心，∴QP=QA=QB=10，

（4）四邊形ACBQ内接于圓，由托勒密定理：8√2×10＋6√2×10=10√2×QC，∴QC=14

（5）由CP=CQ－PQ=4，即：線段CP的長為4

【例二】（如圖）Rt△ABC中，∠BAC=90º，點D為其内一點，且∠BDC=135º，∠DAC=∠DCB，BD=15，△ADC的面積為36，求：線段CD的長

【簡解】

（1）過點C作AD的平行線，過點D作AD的垂線兩線交于點E，即：CE∥AD，AD⊥DE

（2）由已知得：∠DAC=∠DCB=∠ECA，∴∠ACB=∠ECD，又∠DEC=∠ADE=90º=∠BAC，∴Rt△BAC∽Rt△DEC，∴BC/AC=DC/EC

（3）易得：△BCD∽△ACE，∴∠AEC=135º，∴∠DEA=45º=∠DAE，DA=DE，設：DA=DE=a，則：AE=√2a，由：△ACD面積S=36=a×a/2，∴a=6√2，AE=12

（4）由上：EC/CD=AE/BD=4/5，EC=4CD/5，Rt△CDE中，CD²=EC²＋a²=（4CD/5）²＋72，解之：CD=10√2，即：線段CD的長為10√2

【例三】（如圖所示）△ABC中，∠BAC=45º，∠ACB=60º，點D為其内一點，且∠BDC=135º，BD=3，CD=2，求：線段AD的長

【簡解】

（1）将△ABD、△BCD、△CAD分别沿AB、BC、AC向外翻折得：△ABP、△BCQ、△CAR

（2）易得：∠PAR=2×45º=90º，∠QBP=150º，∠QCR=120º，BP=BQ=3，CQ=CR=2

（3）在△PBQ、△QCR中計算得：PQ=（3√2＋3√6）/2，QR=2√3，[cos15º=（√2＋√6）/4]

（4）易得∠PQR=90º，在Rt△PQR中，計算得PR=√（30＋9√3），Rt△PAR中，AP=AR=AD

（5）所以：AD=√2PR/2=√（60＋18√3）/2

以上三例之分析，“道聽度說”供參考。

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