函數是貫穿整個高中數學的始末，也是高考數學中的重要考點，也常與其他知識點融合起來考察，所以老好說的好呀“基礎打的好，做題沒煩惱！”

一次函數

一、定義與定義式：

自變量 x 和因變量 y 有如下關系：

y=kx b

則此時稱 y 是 x 的一次函數。

特别地，當 b=0 時， y 是 x 的正比例函數。

即： y=kx （k 為常數， k≠0）

二、一次函數的性質：

1.y的變化值與對應的x 的變化值成正比例，比值為k

即： y=kx b （k 為任意不為零的實數b 取任何實數）

2.當 x=0 時， b 為函數在 y 軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

1．作法與圖形：通過如下3 個步驟

（1）列表；

（2）描點；

（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像隻需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x 軸和 y 軸的交點）

2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式： y=kx b 。

（2）一次函數與 y 軸交點的坐标總是（ 0，b) ，與 x 軸總是交于（ -b/k ，0）正比例函數的圖像總是過原點。

3．k，b 與函數圖像所在象限：

當 k＞0 時，直線必通過一、三象限，y 随 x 的增大而增大；當 k＜0 時，直線必通過二、四象限，

y 随 x 的增大而減小。

當 b＞0 時，直線必通過一、二象限；

當 b=0 時，直線通過原點

當 b＜0 時，直線必通過三、四象限。

特别地，當 b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

這時，當 k＞0 時，直線隻通過一、三象限；當k＜0 時，直線隻通過二、四象限。

四、确定一次函數的表達式：

已知點 A（x1， y1）； B（x2，y2），請确定過點A、B 的一次函數的表達式。

（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為

1y=kx b。

（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx b 。所以可以列出 2 個方程： y1=kx1 b ,, ①和 y2=kx2 b ,, ②

（3）解這個二元一次方程，得到k， b 的值。

（4）最後得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用

1.當時間 t 一定，距離 s 是速度 v 的一次函數。 s=vt 。

2.當水池抽水速度f 一定，水池中水量 g 是抽水時間 t 的一次函數。 設水池中原有水量 S。 g=S-ft 。

六、常用公式：（不全，希望有人補充）

1.求函數圖像的 k 值：（ y1-y2)/(x1-x2)

2.求與 x 軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與 y 軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：√ (x1 -x2)^2 (y1-y2)^2

（注：根号下（ x1-x2) 與（ y1-y2)的平方和）

二次函數

I. 定義與定義表達式一般地，自變量x 和因變量 y 之間存在如下關系：

y=ax^2 bx c（a，b，c 為常數， a≠0，且 a 決定函數的開口方向，a>0 時，開口方向向上， a<0 時，開口方向向下 ,IaI還可以決定開口大小 ,IaI越大開口就越小 ,IaI 越小開口就越大 . ）則稱 y 為 x 的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II. 二次函數的三種表達式

一般式： y=ax^2 bx c （a，b，c 為常數， a≠0）

頂點式： y=a(x-h)^2 k [

抛物線的頂點 P（h，k） ]

交點式： y=a(x-x ?)(x-x ?) [ 僅限于與 x 軸有交點 A（x? ，0）和 B（x?，0）的

抛物線 ]

注：在 3 種形式的互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x ?=(- b±√b^2 -4ac)/2a

III.二次函數的圖像

在平面直角坐标系中作出二次函數y=x^2 的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條抛物線。

IV. 抛物線的性質

1. 抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。特别地，當 b=0 時，抛物線的對稱軸是y 軸（即直線 x=0）

2. 抛物線有一個頂點P，坐标為P ( -b/2a， (4ac-b^2)/4a )

當-b/2a=0 時， P 在 y 軸上；當 Δ= b^2-4ac=0 時， P在 x 軸上。

3. 二次項系數 a 決定抛物線的開口方向和大小。

當 a＞0 時，抛物線向上開口；

當a＜0 時，抛物線向下開口。

|a| 越大，則抛物線的開口越小。

4. 一次項系數 b 和二次項系數a 共同決定對稱軸的位置。

當 a 與 b 同号時（即 ab＞0），對稱軸在 y 軸左；

當 a 與 b 異号時（即 ab＜0），對稱軸在 y 軸右

5. 常數項 c 決定抛物線與 y 軸交點。

抛物線與 y 軸交于（ 0，c）

6. 抛物線與 x 軸交點個數

Δ= b^2-4ac ＞0 時，抛物線與 x 軸有 2 個交點。

Δ= b^2-4ac=0 時，抛物線與x 軸有 1 個交點。

Δ= b^2-4ac ＜0 時，抛物線與 x 軸沒有交點。 X的取值是虛數（ x= - b±√b^2－ 4ac 的值的相反數，乘上虛數i ，整個式子除以2a）

V.二次函數與一元二次方程

特别地，二次函數（以下稱函數）

y=ax^2 bx c ，當 y=0 時，二次函數為關于x 的一元二次方程（以下稱方程），

即 ax^2 bx c=0此時，函數圖像與x 軸有無交點即方程有無實數根。

函數與 x 軸交點的橫坐标即為方程的根。

1．二次函數 y=ax^2 ，y=a(x-h)^2 ，y=a(x-h)^2 k，y=ax^2 bx c( 各式中， a≠0) 的圖象形

狀相同，隻是位置不同，它們的頂點坐标及對稱軸如下表:

當 h>0 時， y=a(x-h)^2的圖象可由抛物線

y=ax^2 向右平行移動 h 個單位得到，當 h<0 時，則向左平行移動|h| 個單位得到．

當 h>0,k>0 時，将抛物線 y=ax^2 向右平行移動 h 個單位，再向上移動k 個單位，就可以得到 y=a(x-h)^2 k的圖象；

當 h>0,k<0 時，将抛物線 y=ax^2 向右平行移動 h 個單位，再向下移動|k| 個單位可得到y=a(x-h)^2 k

的圖象；

當 h<0,k>0 時，将抛物線向左平行移動|h| 個單位，再向上移動k 個單位可得到y=a(x-h)^2 k的圖象；

當 h<0,k<0 時，将抛物線向左平行移動|h| 個單位，再向下移動|k| 個單位可得到y=a(x-h)^2 k的圖象；

因此，研究抛物線y=ax^2 bx c(a≠0) 的圖象，通過配方，将一般式化為y=a(x-h)^2 k的形式，可确定其頂點坐标、對稱軸，抛物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2 ．抛物線 y=ax^2 bx c(a≠0) 的圖象：當a>0 時，開口向上，當a<0 時開口向下，對稱軸是直線 x=-b/2a ，頂點坐标是 (-b/2a ，[4ac-b^2]/4a)．

3 ．抛物線 y=ax^2 bx c(a≠0) ，若 a>0，當 x ≤ -b/2a 時， y 随 x 的增大而減小；當x ≥-b/2a 時， y 随 x 的增大而增大．若a<0，當 x ≤ -b/2a 時， y 随 x 的增大而增大；當x ≥-b/2a 時， y 随 x 的增大而減小．

4 ．抛物線 y=ax^2 bx c 的圖象與坐标軸的交點：

(1) 圖象與 y 軸一定相交，交點坐标為(0 ，c):

(2) 當△ =b^2-4ac>0 ，圖象與 x 軸交于兩點 A(x ?，0) 和 B(x ?，0) ，其中的 x1,x2 是一元二

次方程 ax^2 bx c=0(a ≠0) 的兩根．這兩點間的距離AB=|x ?-x ?|

當△ =0．圖象與 x 軸隻有一個交點；

當△ <0．圖象與 x 軸沒有交點．當 a>0 時，圖象落在 x 軸的上方， x 為任何實數時，都有y>0；當 a<0 時，圖象落在 x 軸的下方， x 為任何實數時，都有y<0．

5 ．抛物線 y=ax^2 bx c 的最值：如果 a>0(a<0) ，則當 x= -b/2a時， y 最小 ( 大) 值=(4ac-b^2)/4a．

頂點的橫坐标，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐标，是最值的取值．

6 ．用待定系數法求二次函數的解析式

(1) 當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y 的三對對應值時， 可設解析式為一

般形式：

y=ax^2 bx c(a≠0) ．

(2) 當題給條件為已知圖象的頂點坐标或對稱軸時，可設解析式為頂點式：

y=a(x- h)^2 k(a ≠0) ．

(3) 當題給條件為已知圖象與

x 軸的兩個交點坐标時，可設解析式為兩根式：

y=a(x-x?)(x-x ?)(a ≠0) ．

7 ．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．反比例函數形如 y ＝k／ x(k 為常數且 k≠0) 的函數，叫做反比例函數。

自變量 x 的取值範圍是不等于0 的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),

圖像關于原點對稱。

另外， 從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐标軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了

k 分别為正和負（ 2 和-2 ）時的函數圖像。

當 K＞0 時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當 K＜0 時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像隻能無限趨向于坐标軸，無法和坐标軸相交。

知識點：

1. 過反比例函數圖象上任意一點作兩坐标軸的垂線段，這兩條垂線段與坐标軸圍成的矩形的

面積為 | k |。

2. 對于雙曲線 y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數( 即 y ＝ k／（x±m）m為常數 ) ，就

相當于将雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移， 減一個數時向右平移）

對數函數對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數裡對于a 的規

定，同樣适用于對數函數。

右圖給出對于不同大小

a 所表示的函數圖形

可以看到對數函數的圖形隻不過的指數函數的圖形的關于直線

y=x 的對稱圖形， 因為它們互

為反函數。

（1）對數函數的定義域為大于0 的實數集合。

（2）對數函數的值域為全部實數集合。

（3）函數總是通過（ 1，0）這點。

（4）a 大于 1 時，為單調遞增函數，并且上凸；

a 小于 1 大于 0 時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

（5）顯然對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為，從上面我們對于幂函數的讨論就可以知道，要想使得

x 能夠取整個實數集合為定義域，則隻有使得

如圖所示為 a 的不同大小影響函數圖形的情況。

可以看到：

（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a 大于 0，對于 a 不大于 0 的情

況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

（2） 指數函數的值域為大于0 的實數集合。

（3） 函數圖形都是下凹的。

（4） a 大于 1，則指數函數單調遞增；a 小于 1 大于 0，則為單調遞減的。

（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當 a 從 0 趨向于無窮大的過程中 （當然不能等于0），

函數的曲線從分别接近于

Y 軸與 X 軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分别接近于Y軸的正半軸與 X 軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線 y=1 是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向于X 軸, 永不相交。

（7） 函數總是通過（ 0， 1）這點。

（8） 顯然指數函數無界。

奇偶性

注圖：（ 1）為奇函數（ 2）為偶函數

1．定義

一般地，對于函數f(x)

（ 1）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有 f(-x)= － f(x) ，那麼函數 f(x) 就叫做奇

函數。

（ 2）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有 f(-x)=f(x)，那麼函數 f(x) 就叫做偶函數。

（ 3）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與 f(-x)=f(x)同時成立， 那麼函數 f(x) 既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

（ 4）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與 f(-x)=f(x)都不能成立， 那麼

函數 f(x) 既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言

②奇、 偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，

則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

（分析： 判斷函數的奇偶性， 首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然後再嚴格按照奇、

偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x) 比較得出結論）③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

2．奇偶函數圖像的特征：

定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y 軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數《＝＝》 f(x) 的圖像關于原點對稱點（ x,y ）→（ -x,-y ）

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

3.奇偶函數運算

(1) .兩個偶函數相加所得的和為偶函數

(2) .兩個奇函數相加所得的和為奇函數

(3) .一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數

(4) .兩個偶函數相乘所得的積為偶函數

(5) .兩個奇函數相乘所得的積為偶函數

(6) .一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數定義域(高中函數定義）設A,B 是兩個非空的數集，如果按某個确定的對應關系f, 使對于集合 A中的任意一個數x，在集合 B 中都有唯一确定的數f(x) 和它對應，那麼就稱f:A--B為集合A到集合 B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合 A。其中， x 叫作自變量， x 的取值範圍 A叫作函數的定義域；值域名稱定義函數中，應變量的取值範圍叫做這個函數的值域函數的值域, 在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化歸法；（ 2）圖象法（數形結合），

（3）函數單調性法，

（4）配方法，（ 5）換元法，（ 6）反函數法（逆求法），

（7）判别式法，（ 8）複合函數法，（ 9）三角代換法，（ 10）基本不等式法等關于函數值域誤區

定義域、對應法則、 值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中， 實行“定義域優先”的原則，無可置疑。 然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上， 定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮， 何況它們二者随時處于互相轉化之中 （典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正确答案，從這個角度來講， 求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明， 如果加強了對值域求法的研究和讨論，有利于對定義域内函的理解，從而深化對函數本質的認識。

“範圍”與“值域”相同嗎？“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常将它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合

(即集合中每一個元素都是這個函數的取值） ，而“範圍”則隻是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件） 。也就是說 : “值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。

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