#數學分析# 第一章 實數集與函數
數學分析研究的是實數集上定義的函數,因此我們首先要掌握實數的基本概念與性質。
第一講 實數的基本性質1
R:實數集
R :正實數集
R-:負實數集
Q:有理數集
Z:整數集
N:自然數集
N :正整數集
∀:任意
∃ :存在
1.任何一個實數都可以用十進制小數表示。
若x屬于R ,則x=a0.a1a2……an……
若x屬于R- ,則x=-a0.a1a2……an……
其中,a0屬于N,an屬于{0,1,……9},n=1,2……
約定 0=0.0000……
2.有限小數x=x=a0.a1a2……ak(ak不等于0),又可以表示為
x=a0.a1a2……a(k-1)(ak-1)99……
x=x=a0.a1a2……a(k-1)9.
若實數都用無限小數表示,則表達式是唯一的。
即,若x=a0.a1a2……an……,
y=b0.b1b2……bn……,
則x=y等價于an=bn,n=0,1,2……
用無限小數表示實數,稱為正規表示。
3.Q={x|x=m/n,其中m,n屬于Z,n不等于0}表示有理數集。
∀x屬于Q,x可用循環十進制小數表示。
一般的,若x=m/n,則x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p),其中p<n。
p稱為循環節
反之,若x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)
4.無理數為無限不循環小數。
定義1,
∀x,y屬于R ,若x=a0.a1a2……an……,y=b0.b1b2……bn……,是正規的十進制小數表示,規定x>y等價于a0>b0,
或∃ n屬于N,使a0.a1a2……an=b0.b1b2……bn,而a(n 1)>b(n 1)
∀x,y屬于R-,規定x>y等價于-x<-y,
∀x屬于R ,y屬于R-,規定y<0<x,
1.x>y,x=y,x<y 三者必有其中之一成立,且隻有其中之一成立。
2.若x>y,y>z,則x>z,即大小關系具有傳遞性。
有理數集Q對加減乘除(除數不為0)是封閉的;
封閉-是指經過加減乘除運算後仍然是有理數。
實數集R對加減乘除(除數不為0)是封閉的。
封閉-是指經過加減乘除運算後仍然是實數。
對于實數:
(1)∀x,y屬于R,λ屬于R,若x<y,則λx<λy。
(2)∀x1<x2,y1<y2,則x1 y2<x2 y2。
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