#數學分析# 第一章 實數集與函數

數學分析研究的是實數集上定義的函數，因此我們首先要掌握實數的基本概念與性質。

第一講 實數的基本性質1

• 記号與術語：

R：實數集

R ：正實數集

R-：負實數集

Q：有理數集

Z：整數集

N：自然數集

N ：正整數集

∀：任意

∃ ：存在

• 實數的十進制小數表示：

1.任何一個實數都可以用十進制小數表示。

若x屬于R ，則x=a0.a1a2……an……

若x屬于R- ，則x=-a0.a1a2……an……

其中，a0屬于N，an屬于{0,1，……9}，n=1,2……

約定 0=0.0000……

2.有限小數x=x=a0.a1a2……ak（ak不等于0），又可以表示為

x=a0.a1a2……a（k-1）（ak-1）99……

x=x=a0.a1a2……a（k-1）9.

若實數都用無限小數表示，則表達式是唯一的。

即，若x=a0.a1a2……an……，

y=b0.b1b2……bn……，

則x=y等價于an=bn，n=0，1,2……

用無限小數表示實數，稱為正規表示。

3.Q={x|x=m/n，其中m,n屬于Z，n不等于0}表示有理數集。

∀x屬于Q，x可用循環十進制小數表示。

一般的，若x=m/n，則x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)，其中p<n。

p稱為循環節

反之，若x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)

4.無理數為無限不循環小數。

• 實數的大小：

定義1，

∀x,y屬于R ，若x=a0.a1a2……an……，y=b0.b1b2……bn……，是正規的十進制小數表示，規定x>y等價于a0>b0，

或∃ n屬于N，使a0.a1a2……an=b0.b1b2……bn，而a（n 1）>b（n 1）

∀x,y屬于R-，規定x>y等價于-x<-y，

∀x屬于R ，y屬于R-，規定y<0<x，

• 實數的大小關系有以下性質：

1.x>y，x=y，x<y 三者必有其中之一成立，且隻有其中之一成立。

2.若x>y，y>z，則x>z，即大小關系具有傳遞性。

• 實數的四則運算：

有理數集Q對加減乘除（除數不為0）是封閉的；

封閉-是指經過加減乘除運算後仍然是有理數。

實數集R對加減乘除（除數不為0）是封閉的。

封閉-是指經過加減乘除運算後仍然是實數。

對于實數：

（1）∀x,y屬于R，λ屬于R，若x<y，則λx<λy。

（2）∀x1<x2，y1<y2，則x1 y2<x2 y2。

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