作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

圖1：格點多邊形

如圖1，設網格邊長為1，如何計算圖中多邊形面積？或許我們會考慮利用割補法來化簡計算難度，甚至我們幹脆使用勾股定理和餘弦定理……但這都不是本文所要探讨的内容。以上例子中所探讨的問題，我們稱之為求格點多邊形的面積（格點多邊形，即多邊形頂點位于格點的多邊形），我們有專門的計算公式，即——

皮克定理（Pick's Theorem）

其中是格點多邊形内部的點的個數，我們簡稱為内點數，是格點多邊形邊界點的個數，我們簡稱為邊界點數。

我們随後讨論該定理的證明。觀察并欣賞此定理，有幾個值得一提的事實：

• 格點多邊形的面積隻與内點和邊界點的數量有關，和多邊形具體的形狀無關；

• 格點多邊形的面積是0.5的整數倍。

皮克定理既實用又富有理論價值。我們不需要餘弦定理，隻需要簡單的計數，就連小朋友都可以得知平面不規則圖形的面積。更進一步，我們利用此公式逼近閉曲線圍城的面積，從而得到近似值；直觀上講，若網格越是細密，近似值就越精确，這當中蘊含着微積分的思想。

圖2：3個洞就是3虧格

使用平面圖的歐拉公式證明相對來說比較簡潔。剛好我在之前的文章中有證明過平面圖的歐拉公式，感興趣的讀者可以閱讀《從黃金多面體到歐拉特征》（點擊文章題目查看）。我們順便介紹一個更一般的公式——

可定向閉曲面的歐拉公式

其中，表示有個“洞”的可定向閉曲面，例如圖1中的圓環面，它隻有一個“洞”，即。“洞”我們有個專有名詞——虧格，我們下文僅僅需要用到虧格為的情況。公式中分别表示曲面上剖分的頂點數、棱數、面數。如圖3，就是對圓環面的剖分；足球，則是用五邊形與六邊形對球面剖分。可定向閉曲面歐拉公式揭示了歐拉特征與曲面虧格之間的關系，這是數與形的美妙聯系。

圖3：矩形剖分

圖4

這是我們下面需要用到的引理，我們以列表的形式單獨列出來。

接下來我會提到兩種證明方法。

法一

我們前文關注到格點多邊形的面積是0.5的整數倍，這确實是一個很本質的洞見，這是因為——

引理1 如果一個格點三角形内部和邊上（除頂點外）都沒有格點，則它的面積為.

這個結論可以通過如下結論得到：

引理2 設二階整數矩陣

若逆矩陣也是整數矩陣，則其行列式必定取值為

所謂行列式，對于二階矩陣而言形式非常簡單：

圖5：線性變換将平面上和兩個基向量映射為紅色、綠色的基向量

證明：我們定義一個線性變換如上圖，線性變換将正方形網格變成平行四邊形網格，我們假設平行四邊形四個頂點也落在整數格點上。顯然，這個線性變換存在逆映射，由逆矩陣公式：

而且依條件逆矩陣也是整數矩陣，于是分母必須為：

引理2證畢。

而行列式的幾何意義恰恰就是平行四邊形的有向面積，即三角形有向面積的2倍。于是，引理1中的三角形面積為

圖6：行列式與平行四邊形面積

這意味着我們總可以将格點多邊形拆分成面積為的小三角形，然後化為平面圖，利用平面圖的歐拉公式計算即可。我們考慮除去多邊形外面的無界區域，設.

這個三角剖分的頂點數是；面數也就是三角形數是；全體棱分兩類：一部分是多邊形邊界上的，一共有條棱（封閉的折線邊界上的個頂點就把邊界分割成條棱）；一部分是多邊形内部的，每條棱都是兩個面的交線，每個面有三條棱。計算棱的總數有等式，再加上歐拉公式，就解得

法二

圖7體現了第二種方法的證明思路：把格點圖形包起來，變成一個圓環面，然後格點就是天然的剖分，借用閉曲面的歐拉公式。

圖7：将平行四邊形粘接為圓環面

事實上，我們隻需證明格點三角形符合公式即可。格點多邊形總可以拆為若幹格點三角形。多邊形兩邊依照格點重合，則每個邊界點重合為個内點，這依然符合公式。

對任意格點三角形，考慮與之翻轉對稱的另一格點三角形，将兩者沿任意一條邊粘接，形成平行四邊形的面積是原格點三角形的2倍。對該平行四邊形兩條對邊同向粘接，其結果同胚于一圓環面。此時圓環面上的格點誘導出一個正方形網格剖分：原格點是剖分的頂點，臨近格點間的連線是棱，正方形格子是面。

設格點三角形的内點個數為，邊界點個數. 以下是兩三角形粘貼為平行四邊形，再粘貼為圓環面的過程：

：原來個内點始終是内點。設三角形重合邊其上有個非角點邊界點，重合後，個角點化為平行四邊形個角點，非角點邊界點損失個，合成的個點轉化為圓環面的内點。

：平行四邊形所有的邊界點化為圓環面的内點——個角點化為個内點，非角點邊界點自我重合減半，故而圓環面的頂點個數：

棱數為，因為每條棱對應兩個頂點。格子的個數是面數，恰恰是所求的面積的倍，即. 由環面的歐拉公式（虧格）

将上述數據代入計算得：

得證。

遺憾的是，皮克定理不能直接推廣到高維的情況，也就是說：我們不能通過高維格點多面體的内點、邊界點而計算其體積。如下圖，位于單位正方體内的兩個沒有内點的四面體，

它們有相同數量的邊界點，但是它們的體積卻并不相等，前者是，後者是 但是高維格點的研究并沒有就此止步，埃哈特(Ehrhart)在1962年将皮克定理推廣到高維空間，我們今後有機會為大家介紹。

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