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一道初中幾何題做了一個月

教育更新时间:2025-01-06 20:49:59

這是在百度上看到的幾何題，做了一下确實不好做。用三角函數的方法很快就能做出，而且有多種做法。但是初中生怎樣用幾何方法證明呢？

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）1

難度非常大的幾何題

我經常用等價變形來解幾何題。這個幾何題也很好做等價變形，我們看看怎樣去做。

因為BD=CD，把△ADC繞D點順時針旋轉180°，可以得到如下等價幾何題：

在△ABC中，已知∠ABD=30°、∠CBD=15°，AD=CD，求∠C=？。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）2

等價幾何題

等價變形後看起來題目簡單，其實并不好做。我們繼續補齊輔助線。

其實就是一個等腰直角三角形和一個長方形拼接在一起的圖形，已知相關條件求角度。還是有點難。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）3

繼續等價變形

我們還可以繼續補齊輔助線，得到下面這個圖形，是不是很有意思。

一個大等腰直角三角形，裡面有個長方形，給出相關條件求角度。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）4

繼續補齊輔助線得到大等腰直角三角形

現在看起來應該比較好做了。如果知道長方形AHCF的長寬比，角度就知道了。那麼，怎樣求長方形的長寬比呢？這時要用到關鍵已知條件：30°角、15°角。30°角對邊是斜邊的一半；15°角的作用是與30°角加起來等于45°，也就是等腰直角三角形兩腰相等、斜邊=√2直角邊。

作DK⊥BE，設DK=x，則各線段的長度關系如下圖。

PD/PC=(√6-√2)/(3√2-√6)=√3/3。

所以，∠PCD=30°。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）5

各線段之間的關系

有些幾何難題隻要把隐藏的輔助線補齊，就會變得容易做出。後續我還會講這方面的應用。

現在看看怎樣用三角函數來解題。如圖設線段和角度。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）6

用三角函數解題

由正弦定理得：

a/sin30°=b/sin(135°-α)，①

a/sin15°=b/sinα。②

由①、②得：

tanα=√2sin15°/(1-√2sin15°)=√3/3，

所以，α=30°。

求sin15°的值可以用sin(60°-45°)得到。

再來看老師的解答，如撥雲見日，非常好的方法。這樣做輔助線可以把30°角和15°角聯系起來，非常巧妙而且簡單。學習了。

一道初中幾何題做了一個月（一道初中幾何題）7

老師的解答

總結一下：這道幾何題看似簡單，如果作不出輔助線确實不好做。這道題最終都要用到30°角和45度角的直角三角形來做。在解題過程中，不僅自己有研究所得，而且學到了老師給出的好方法，很有收獲。我想，學習就是這樣，取長補短，相得益彰。

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