判定一個三角形是等腰三角形，有兩種基本方法：一是證明兩角相等，二是證明兩邊相等。

一、根據等角對等邊來解決問題

例1、如圖1，AO平分∠BAC，∠1=∠2，試說明△ABC是等腰三角形。

分析：題中有角平分線時，常自角平分線上一點作角兩邊的垂線。

解析：如圖2，由題設可知，∠1=∠2，∠3=∠4。僅有角相等，無論是證AB=AC還是證∠ABC=∠ACB都不夠，因此想到作輔助線。由于AO為∠BAC的平分線，根據角平分線的性質，過點O向角的兩邊作垂線OE、OF，這樣得到一對直角和一組邊相等：OE=OF。

因為∠1=∠2，所以OB=OC。

所以Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）。

所以∠5=∠6。

所以∠1 ∠5=∠2 ∠6，即∠ABC=∠ACB。

所以AB=AC。△ABC為等腰三角形。

二、兩邊相等

證兩邊相等，可以考慮下面四種方法。

1、通過三角形全等證線段相等

例2、如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，E是AD延長線上的一點，連接BE、CE。試說明△EBC為等腰三角形。

解析：根據已知條件AB=AC，AD⊥BC，易知BD=CD。由于AD⊥BC，DE為公共邊，可得△BDE≌△CDE（SAS）。所以BE=CE。△EBC為等腰三角形。

2、利用線段垂直平分線的性質證線段相等

如上面的例2，可以發現AE是線段BC的垂直平分線，由于線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以BE=CE。這樣就省略去了證△BDE≌△CDE的步驟。

3、利用線段的和與差證線段相等

例3、如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D。試問：線段AE與AF相等嗎？

解析：由于AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性質，易知有BD=CD。結全BE=CF知ED=FD，故AD是線段EF的垂直平分線，于是AE=AF。

4、利用面積法證線段相等

例4、在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。試說明PE=PF。

分析：要證兩線段相等，常用三角形全等來證。如果已知條件中有等腰三角形存在，那麼等腰三角形三線合一的性質經常會用到。審題時一定要注意中點、垂直等條件。有時候已知條件不夠，要适當添加輔助線，常作的輔助線是高（垂線）、平行線等。

解析：連接AP，如圖5，根據題意知AP⊥BC，BP=CP。所以△ABP和△ACP的面積相等。而△ABP和△ACP的面積還可以分别通過把AB、AC當作底，PE、PF當作高來表示，即

AB·PE=AC·PF。而AB=AC，易得PE=PF。

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