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如何用單位圓定義三角函數

生活更新时间:2025-02-23 05:57:36

1.直角三角形中的銳角三角函數

初中數學中第一次接觸三角函數，是為了在直角三角形中表示邊長之間的關系。

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）1

在圖中的直角三角形中

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）2

角度α的範圍為0°~90°，即弧度0~π/2，可以将上述三角函數看作自變量取值範圍為(0, π/2)的函數。

2.任意角的三角函數

銳角三角函數的局限性太明顯了，與上篇文章《角度擴展之任意角與弧度角》中角的範圍擴展類似，三角函數的自變量取值範圍也可以相對應地擴充到整個實數集。

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）3

現在我們來重新定義三角函數，将角的範圍擴充。以原點A為圓心作半徑為r的圓，圓上任意一點B的坐标為(x, y)，半徑AB與x軸形成夾角α（實數集上的任意角），則定義

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）4

上述定義中，正弦函數和餘弦函數對任意實數角都存在函數值，正切函數要求x不能為0，其自變量的取值範圍應為

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）5

3.單位圓中的三角函數

上述定義中涉及到圓的半徑r，由于r可以取任意正實數值，為了更加簡化三角函數的定義，我們令r=1。

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）6

即在圓心在原點的單位圓中，任意角的三角函數定義簡化為

如何用單位圓定義三角函數（任意角的三角函數）7

正切函數的角仍然不能為π/2的奇數倍。

這樣一來，我們就把三角函數的定義域擴充到實數域之内。根據任意角的定義，單位圓上任意一點都對應無數多個角度，它們之間的差值為2π的整數倍。換個角度理解就是，相差為2π的角對應的正弦值、餘弦值、正切值都相同。正弦函數、餘弦函數在實數範圍内是周期為2π的周期函數，而正切函數實際上為周期為π的周期函數。

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