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三角形的定義

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.

三角形有三條邊，三個内角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的内角; 相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。

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三角形的表示

三角形ABC用符号表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。

注意：

(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；

(2)三角形是一個封閉的圖形；

(3)△ABC是三角形ABC的符号标記，單獨的△沒有意義。

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三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類

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三角形的主要線段的定義

②∠1=∠2=∠BAC.

注意：①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的内部且交于三角形内部一點；（注：這一點角三角形的内心。角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等）

③用量角器畫三角形的角平分線。

(3)三角形的高

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．

表示法：①AD是△ABC的BC上的高線

②AD⊥BC于D

③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的内部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交于一點．這點叫垂心）

③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）

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三角形的主要線段的表示法

三角形的角平分線的表示法：

如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：

① AD是DABC的角平分線；

② AD平分ÐBAC，交BC于D；

(圖1)

(2)三角形的中線表示法：

如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：

①AE是DABC的中線；

②AE是DABC中BC邊上的中線；

(3)三角線的高的表示法：

如圖2，根據具體情況，使用以下任意一種方式表示：

①AM是DABC的高；

②AM是DABC中BC邊上的高；

③如果AM是DABC中BC邊上高，那麼AM^BC，垂足是E；

在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時應注意：

(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點，交點都在三角形内部.

(2)如圖4，三角形的三條中線交點一點，交點都在三角形内部.

圖3 圖4

如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形内部，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.

圖5 圖6 圖7

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三角形的三邊關系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.

注意：(1)三邊關系的依據是：兩點之間線段是短；

(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

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三角形的角與角之間的關系

(1)三角形三個内角的和等于180°;

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和；

(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角.

(4)直角三角形的兩個銳角互餘.

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三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推論：直角三角形的兩個銳角互餘。

推理過程：

(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2 ∠3 ∠4=180度，

即∠A ∠B ∠ACB=180度．

(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1 ∠2 ∠3=180度

即∠BAC ∠B ∠C=180度．

注意：

(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角．

(2)應用内角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關系求三個角．

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三角形的外角的定義

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.（所以一般我們隻研究一個）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處

隻選一個外角，這樣三角形的外角就隻有三個了.

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三角形外角的性質

(1)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個内角之和．

(2)三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個内角．

注意：(1)它不相鄰的内角不容忽視；

(1)作CM∥AB由于B、C、D共線

∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1 ∠2=∠A ∠B.

那麼∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

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三角形的穩定性

三角形的三邊長确定，則三角形的形狀就唯一确定，這叫做三角形的穩定性。

注意：(1)三角形具有穩定性；

(2)四邊形沒有穩定性.

關于三角形會經常遇到的題型：

适當添加輔助線，尋找基本圖形。

(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，

圖8

(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那麼DOE是等腰三角形，DO=DE.當幾何問題的條件和結論中，或在推理過程中出現有角平分線，平行線，等腰三角形三個條件中的兩個時，就應找出這個基本圖形，并立即推證出第三個作為結論.即：角平分線 平行線→等腰三角形.

圖9

(3)基本圖形三，如圖10，如果BD是ÐABC的角平分線，M是AB上一點，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那麼BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線 垂線→等腰三角形.

當幾何證題中出現角平分線和向角平分線所作垂線時，就應找出這個基本圖形，如等腰三角形不完整就應将基本圖形補完整，如圖11，圖12。

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多邊形

在同一平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。

(1)多邊形的對角線

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

(2)正多邊形

各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形

(3)多邊形的内角和為（n-2）*180度

多邊形的外角和為 360度

注：當求角度時應該想起 内角和 或者 外角和 或者 一個角的外角

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密鋪

所謂“密鋪”，就是指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。

可單獨密鋪的圖形

①所有三角形與四邊形均可以單獨密鋪。

②正多邊形隻有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨密鋪。

③對邊平行的六邊形可以單獨密鋪。

平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時,隻有正三、四、六邊形可以密鋪。

(利用内角和的知識來計算，如：任意三角形内角180，則三個相同的任意三角形即可形成∠180，六個就可以密鋪；同理，四邊形内角360，四個就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數倍等于180或360)

曲面像12個正五邊形和20個正六邊形可以鋪成個球(足球就是)。

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