作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

Jones多項式是區别不同紐結的利器，其誕生本身就具有傳奇色彩。新西蘭數學家Vaughan Jones是泛函分析領域中算子代數方向的專家，在他1984年的一次演講中，一位聽衆——美國拓撲學家Birman對他說，演講中出現的一組公式似曾相識，似乎與拓撲學中的紐結理論有關……由此，Jones多項式誕生了。

一邊是泛函分析，另一邊是拓撲學，這兩個看上去十分遙遠的領域竟然有戲劇性的聯系。然而更稀奇的是，Jones竟然在統計力學也綻放出美麗的花卉。1990年Jones榮獲菲爾茲獎，其餘三位獲獎者中的兩位是理論物理學家，他們也對紐結不變量理論有所貢獻。

下文我們将詳細介紹Jones多項式。

為了理解Jones多項式，我們首先介紹bracket多項式，它是由美國數學家Louis Kauffman引入。

觀察紐結每個交點附近區域的分割情況，我們将對頂角标記相同的字母（A或B），如上圖。而消除一個交點則有兩種情況：要麼是“打通”A通道，要麼“打通”B通道。

由于每消除一個有兩種選擇（打通A通道或打通B通道），則一個交點數為的紐結，不計選擇順序，反複進行如上操作，直至消除所有交點，最終我們隻會剩下若幹閉合曲線——這樣的狀态總數為。

對于每一個狀态，我們記表示打通A通道的個數，表示打通B通道的個數，表示最終所剩的閉曲線個數。

如上圖所示，左手三葉結被拆解為右圖所示狀态，3個交點中有2個選擇打通B通道，1個選擇打通A通道，并且最終剩餘閉曲線數為1，即記為

最終我們對每個狀态進行求和

這個表達式稱為尖括号多項式的狀态模型公式，其中待定。

那麼bracket多項式需要滿足哪些關系呢？

你一定奇怪為什麼的指數是，這是何用意？我們考慮平凡紐結——圓周的bracket多項式：此時，，于是

原來這麼設計是為了讓平凡紐結的bracket多項式為單位元。還有一條重要的拆接關系式：

這有點像是量子力學中的疊加态，交點“”（粗線壓在細線上方）的拆解結果既可能是A通道打開，又可能是B通道打開，所以是兩者的疊加态。

最後一條性質還是關于平凡紐結以及鍊環（多個紐結）：

當然這個bracket多項式離我們最終要介紹的Jones多項式還差一步之遙。Jones多項式是紐結不變量，前幾篇文章我們介紹過Reidemeister三種初等變換（R1，R2，R3），它是紐結不變量的試金石。下面我們讨論，bracket多項式能否通過三種初等變換的檢驗，從而晉升為紐結不變量？

回憶三種Reidemeister變換：

先看R2變換：反複使用前文提及的性質，做如下拆解——

如果我們想要bracket多項式在R2變換下保持不變，那麼需要滿足：

于是解得

巧合的是這個關系在R3變換下也保持不變，這個留給讀者進行驗證。我們将上述關系帶入狀态模型公式：

于是bracket多項式化為隻關于單變量的紐結不變量。

最後一步改造

讀者會問，那為什麼不讨論R1變換啊？因為bracket多項式在R1下并不能保持不變：

但我們不能再進一步強行令等于，否則bracket多項式退化為具體的數字，這與原來的多項式相比，損失的信息太多了。那麼bracket多項式究竟少了什麼才以至于錯失為同痕不變量呢？

答案是擰數 ：一個有向鍊環的全體交叉點的符号總和。R1變換會導緻擰數增加，所以隻要我們消除擰數的影響就可以了。

沿着這個思路，萬衆矚目的Jones多項式終于閃亮登場——

由于平凡紐結擰數為，所以其Jones多項式仍然為，即。

理論上現在我們可以對任意一個紐結或者鍊環計算其Jones多項式，隻不過計算過程稍顯繁雜。為了方便計算，有拆接公式如下：

其中表示三個幾乎相同的鍊環或紐結，隻是在某個交點處呈現三種不同的狀态：

那麼這三個鍊環或紐結的Jones多項式滿足如上方程。

實例與計算

例1

例如計算簡單圈套如上圖左，我們借助圖中、圖右另外兩個平凡紐結代入拆接公式。利用性質可得兩個分離圓環的bracket多項式：

由于這個平凡的鍊環擰數為，由Jones多項式的定義可知，其bracket多項式與Jones多項式相等。最後我們代入公式

<左右劃動>

于是立即可得

例2

借用例1，我們立即可以計算右手三葉結的Jones多項式：

<左右劃動>

于是立即可得

同理我們可以構造左手三葉結的拆接關系，計算其Jones多項式：

我們看到左右手三葉結的Jones多項式确實不一樣，這說明兩者不同痕！

預告

下一期将會介紹紐結與統計力學的關系，敬請期待。

- END -

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