一般而言，人類的科學事業大緻可分為兩個階段：第一階段是從公元前3000年至公元16世紀，我們把它稱為經驗科學階段；第二階段是從16世紀至今，科學發展進入了一個突飛猛進的階段，我們稱之為精确科學階段。

在經驗科學階段，人類的科學事業處于初級發展時期，科學發展主要依靠人的“經驗”。經驗從實踐中來，一般以定性為特征，很少采用精确數字描述，基本不用數學，至多采用初等數學。經驗科學的一般範式可歸納如下:

因為前人操作A過程得到B結果，所以後人也可以操作A過程得到B結果，并且A過程和B結果均為定性或半定量描述，帶有主觀痕迹。

在經驗科學階段，人類在陶瓷、冶煉、火藥、造紙、古代醫術、幾何光學、靜磁學、靜電學、天文學、聲學等方面取得了許多重大突破。

在古代中國，中醫學的發展帶有鮮明的經驗科學特征，例如戰國時期成編的《黃帝内經》、明朝時期成書的《本草綱目》等均為典型的經驗科學論著。中醫的明顯療效使人們确信此類經驗方法的有效性，并在過去幾千年的曆史長河中不斷發展和傳承。

人們到中草藥行抓藥，隻見藥劑師憑借手感，将幾兩或幾錢的某種草藥分成數堆;煎熬中草藥時，病人被告知要“溫度适中”或“文火煎藥”，但沒有被告知具體的溫度和升溫降溫曲線。中醫學用草藥治病，但不必知道草藥中的具體化學成分。當年，李時珍知道“用青蒿一把，加水二升，搗汁服”可以治療瘧疾寒熱，但他并不知道草本植物青蒿内的化學成分青蒿素的分子式及其精确含量。當老中醫将手中的狗皮膏藥放在明火上烘烤後貼在病人患處時，他并不知道此時那張狗皮膏藥的實際溫度，也不知道藥分子向皮膚内擴散的速度和濃度衰減曲線。

從精确科學的角度來看，中國古代發明的狗皮膏藥對關節炎等疾病的治療原理是現代物理學中“原子分子擴散原理”的最早應用，而擴散原理偏微分方程

的建立和精确求解則是在牛頓和萊布尼茨發明微積分理論之後完成的。

經驗科學以定性的“經驗”為基礎，直接導緻以下三個問題：

(1)由于定性的“經驗”往往帶有一定的主觀性，因此以經驗為基礎的推理或判斷失誤概率較大，容易導緻錯誤的結果。

例如，炎炎夏日，當我們經太陽暴曬後，來到樹蔭底下時，即刻感到涼快;但當我們從空調房間出來，來到同樣的樹蔭底下時，卻會感到很熱。這是因為人對溫度的感知不僅取決于其絕對值的大小，還要受溫度正負變化量的影響。

(2)定性的“經驗”導緻精确重複實驗的難度很大，“經驗”和相關技術的傳承成為難題，導緻大量優秀技術失傳。

例如，在陶瓷的燒制過程中，如果僅憑肉眼觀察爐火顔色來判斷爐溫，對整個燒制過程中的升溫、保溫和降溫隻憑經驗控制，那麼，即使偶爾獲得少量精美的陶器、瓷器，也很難再次精确重複，所獲産品的成品率不高，其質量的重複性和一緻性也相對較低。

(3)在經驗科學階段，定性歸納推理成為主要的推理範式。由于沒有采用精确的高等數學進行抽象概括和演繹推理，因此要揭示本質性的自然規律幾乎沒有可能。

16世紀以後，人類對自然規律的揭示向縱深發展，精确科學研究範式逐漸成形。據說在1590年，意大利物理學家伽利略曾在比薩斜塔上做自由落體實驗，将兩個大小不同的鐵球從塔頂相同高度同時扔下，結果兩個鐵球同時着地，由此發現了自由落體運動的規律。此外，伽利略還發現了經典力學中的相對性原理、慣性定律和運動合成原理，發明了望遠鏡、溫度計，證明了“日心說”、太陽自轉等。尤其是他把數學方法與實驗測量相結合，将理論與實驗相互映證，開創了現代精确科學的研究範式：

(a) 精确實驗，總結實驗規律；

(b) 提出假說，定量解釋實驗規律；

(c) 根據假說，利用數學演繹和邏輯推理，獲得推論或預言；

(d) 對推論或預言進行客觀、精确定量、任意可重複的實驗檢驗；

(e) 修改理論及假說；

(f) 實驗檢驗假說和理論；

上述精确科學研究範式由伽利略率先倡導，後人不斷完善而成，故也被稱為“伽利略科學研究範式”，它是現代一切自然科學的一般研究範式。該範式要求對實驗和理論進行客觀、精确定量、任意可重複地循環對比、修正和提高，從而不斷提升理論與實驗的精确程度和符合程度，最終揭示宇宙客觀規律(真理)。

對精确科學研究範式而言，“客觀”是指科學實驗結果的客觀性，即隻要實驗條件嚴格一緻，實驗結果便唯一确定，與實驗操作者、實驗進行的時間或地點等均沒有關系;“精确定量”要求科學實驗必需用數字、函數或微分方程精确定量描述和演繹;“任意可重複”是指科學家在時間、體力、腦力、資金、儀器設備等允許的範圍内，可任意次重複實驗過程。請注意，這裡并沒有要求無限次可重複。

從“可重複”上升至“任意可重複”，不僅代表實驗重複次數的提升，更規定科學對實驗重複次數的選取法則;從“無限可重複”下降至“任意可重複”，表明科學實驗重複次數的有限性和相對性，體現了科學的真實意義所在，也告知了科學的局限性。

現代文明創造了一個又一個精确科學的奇迹，如太空飛船與處于某軌道上的太空實驗室對接、高超音速導彈攔截、超大規模集成電路制備、原子分子操作、轉基因技術等。

現代科學對精确度的追求永無止境。目前，量子力學中普朗克常數的最新測量值為h = 6.62606876(52)×10-34焦耳·秒;電子磁矩的最新測量值為μe= 1.001159652193(10)μB，其中μB為一個常數；從伽利略開始，人們對光速測量一直抱有濃厚興趣，現在測得的最高精确度為c=299792458米/秒；目前人類對電壓的測量精确度約為10-17伏特，對磁場的測量精确度約為10-15特斯拉，對空間距離的測量精确度約為10-10米，對時間的測量精确度約為10-35秒，如此等等。人們仍不滿足，測量精确度仍在不斷提高。

在上述精确科學研究範式中，有一個過程十分苛刻：利用數學演繹和邏輯推理獲得推論或預言，并與更精确的實驗進行客觀、精确定量、任意可重複的反複驗證。換言之，精确科學不僅要求實驗測量越來越精确，而且要求理論越來越能夠精确描述、計算、演繹并預測實驗規律，揭示實驗現象背後的深層宇宙規律。

16世紀以後，以微積分為代表的現代高等數學開始誕生并不斷發展，為精确科學的發展提供了強有力的支持。可以說，幾百年來，精确科學緊緊伴随着高等數學的發展而發展。

愛因斯坦的相對論是精确科學的理論典範，其中采用的現代高等數學包括微積分、線性代數、張量分析、群論、拓撲學、微分幾何等，其所得結論的精确度令世人贊歎不已!迄今為止，諸如“引力紅移”、“光線彎曲”等已得到極高精确實驗的驗證。此外，還有其它諸多精确的理論預言，如引力子等，由于精确度太高，實驗難度極大，迄今尚未得到實驗的直接驗證。

圖1、圖2 屹立在德國烏耳姆城中的愛因斯坦誕生紀念碑。碑文：1879年3月14日，阿爾伯特·愛因斯坦誕生于此地的房屋。

人們不禁要問：為什麼要花費如此大的代價，任意可重複地進行精确的實驗并與精确的理論循環驗證呢？事實上，精确的實驗測量數據與嚴密邏輯的高等數學演繹，兩者将實驗與理論進行客觀、精确定量、任意可重複地循環驗證;而實驗數據測量越精确，重複次數越任意，與高等數學精确演繹結果越吻合，越能揭示本質性宇宙客觀規律，由此建立的科學理論也越逼近宇宙客觀真理。

精确是相對的，不精确是絕對的。所謂精确，是一個相對的概念，并具有鮮明的時代特征。

數學是精确的，它可無限逼近絕對精确值，然而，當采用數學這一工具(包括大型計算機)計算實際科學問題時，必需建立簡化模型，進行近似計算，不可能絕對精确。邏輯學是嚴密的，它可讓邏輯漏洞趨向于零，然而，當我們将邏輯學原理應用于實際科學問題時，邏輯漏洞不可避免。

由于受儀器設備精确度極限、周圍環境變化、人為因素等影響，人類所進行的一切實際科學實驗均存在誤差，從來沒有絕對精确而無誤差的科學實驗。科學的任務并不是消除誤差，而是減小誤差，将誤差減小至實際應用的允許範圍之内。現在如此，将來也必然如此。當然，随着人類文明的不斷進步，各種實際應用所允許的誤差範圍也必将越來越小。因此，物理學、化學、材料科學、地球科學、生命科學等自然科學必然是近似的，是相對真理。

20世紀20年代，量子力學誕生，其中的“海森堡不确定原理”告訴我們：對于某一微觀粒子，假如其坐标為x，動量為p，能量為E，壽命為t,它們的不确定範圍分别為△x，△p，△E和△t，則滿足不确定關系

△x·△p ≥ h

△t·△E ≥ h ,

其中h為普朗克常數。上式的文字表達如下：微觀粒子的坐标和動量不可能同時被确定；微觀粒子的能量和壽命不可能同時被确定。兩個不确定量的乘積要大于一個常數，我們永遠無法讓其中某一個量的不确定範圍等于零。由于上式中的能量和動量均具有不确定範圍，所以在此精确度之下，能量和動量均是不守恒的。當然，由于h值很小，因此這個所謂的“不确定性”是很小的，但它是客觀存在的，我們無法通過提高儀器測量的精确度或提高觀察者的素質加以克服。由此我們看到，在不斷精确認識客觀世界的道路上，人類第一次觸及到了宇宙的一個極限，一個不可逾越的極限!

20世紀70年代建立的非線性科學理論告知我們：線性是相對的，而非線性則是絕對的。非線性效應可導緻結果對原因微小變化的極其敏感性，其敏感程度是目前任何辦法(包括高靈敏探測器、超大型高速計算機等)都無法精确預測的。

現代人類終于明白了：生活于天地之間的我們，并不可以“為所欲為”，我們對宇宙客觀規律及真理的描述和揭示，其精确度是有極限的。“精确科學”中所謂的“精确”是相對的，由此獲得的“宇宙客觀真理”也是相對真理。

随着精确科學的不斷發展，一個又一個宇宙客觀真理相繼被揭示。人們發現，在實空間中，宇宙客觀真理一般由偏微分方程描述。

例如，宇宙中一切宏觀低速的機械運動均可由牛頓方程

描述。

經典電磁場運動規律由麥克斯韋方程組

描述，它揭示并統一了宏觀的電、磁、光的運動規律。

量子力學中的薛定谔方程是描述微觀、低速情況下物質運動普遍規律的二階線性偏微分方程，如下式所示：

其中Ψ為波函數，r為空間坐标向量，x、y、z為三維空間坐标，t為時間，m為微觀粒子的質量，V為勢能，虛數單位i ，約化普朗克常數。薛定谔方程在量子力學中的地位如同牛頓方程在經典力學中的地位一樣。

維也納大學校園内的薛定谔雕像，碑文即著名的薛定谔方程。

類似的例子還有很多，如高能物理中描寫自旋為零的基本粒子(如π介子等)運動規律的克萊因-戈登方程為二階偏微分方程；描寫自旋為1/2的基本粒子(如電子、中微子等)運動規律的狄拉克方程為一階偏微分方程;廣義相對論中描述空間物質能量、動量分布與空間彎曲關聯的愛因斯坦場方程為二階張量方程(其實它是一個二階非線性偏微分方程組)等。

此外，還有一些其它情況：

(a) 類似牛頓萬有引力定律

即兩個天體之間的吸引力與它們之間的距離平方成反比，與它們的質量乘積成正比，G為引力常數。)那樣的宇宙真理，僅僅是未知函數、變量和常量之間的函數關系式，不能算是偏微分方程。事實上，此類定律隻是更精确理論的近似表述，例如牛頓萬有引力定律是廣義相對論中愛因斯坦場方程在特殊情況(距離較近、引力較弱和速度較慢)下的近似而已。

(b) 類似量子力學中德布羅意波粒二象性假說（即微觀粒子的波長λ和動量p成反比，h為普朗克常數。)那樣的宇宙真理，似乎也不是微分方程。但事實上，它們是建立相關偏微分方程的基礎性假說，已被包含在相應的偏微分方程之中，例如上述薛定谔方程已将德布羅意波粒二象性假說包含其中。

綜上所述，精确描述宇宙客觀真理的是一個個不同類型的偏微分方程。根據不同的邊界條件，經過嚴格且巧妙的數學求解和演繹，便可獲得一個又一個科學推論，解決一個又一個科學問題，創造一個又一個人類文明的奇迹。因此，這些偏微分方程當之無愧被譽為“宇宙客觀真理的化身”!

(iii)宇宙客觀真理是簡潔、統一和玄妙的。

(i)宇宙是不斷運動變化的;

(ii)宇宙中的常量、變量以及變化率之間是相互精确聯系的;

(iii)宇宙客觀真理是簡潔、統一和玄妙的。

應該指出，作為宇宙客觀真理化身的諸多偏微分方程并不是被嚴格推導而來的，而是由科學巨人們逐個“建立”的。首先，這需要大量的前期理論和實驗準備，當新實驗結果與原理論發生矛盾并日益尖銳化時，原理論的缺陷和局限性不斷顯露。待時機成熟，極少數科學巨人根據他們獨特的哲學觀、敏銳創新的思維方式、紮實的理論功底以及豐富的科研經曆，使智慧“靈感”突然被觸發，從而提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程。這些方程精确、簡潔且玄妙，如此“天機”乃宇宙主宰者“事先設定”，人類可揭示而不可更改。

應該承認，提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程，的确帶有某些主觀“猜測”的成分。不過，科學巨人們對客觀真理玄妙、精确和深刻的揭示絕不是一般意義上的“猜測”。事實上，這種“猜測”帶有極其苛刻的前提條件，非天才不能為之。剖析一個個成功“建立”偏微分方程的事例，可以得出如下結論：

(1) 提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程，是偉大科學家智慧“靈感”的具體表述，以當時的非理性思維為特征;

(2) 智慧“靈感”的觸發需要紮實的專業基礎、完備的知識結構、豐富的科學研究經曆以及非凡的睿智與勇氣;

(3) 智慧“靈感”的觸發還與時代、學科、環境以及其它偶然因素等相關聯。

除了上述三個必要條件外，還需要科學家集中智力和體力，長期聚焦于某一科學難題，理清該難題的前因後果、問題關鍵、難點實質、相互關聯等問題。然後，經過長期深入的形象和抽象思維思考，在某些“偶然因素”的觸發下，科學家的智慧“靈感”突然閃現。觸發“靈感”的形式多樣，如在思想交流時、在比較及聯想時、在長期深入思索後，甚至在夢幻中等。

那麼，智慧“靈感”究竟是如何被觸發的呢?類似“天才之舉”、“超感官知覺”、“天人感應”、“神人下凡”等超力量解釋當然可以暫時滿足我們的好奇心，但事實上，智慧“靈感”的觸發與科學家的非凡睿智、思維方式、知識結構、長期頑強的探索及心理素質等因素有關。此外，智慧“靈感”的觸發源自心靈深處，與科學家大腦中的腦細胞、分子、原子、離子、電磁場等運動及相互作用玄妙關聯。遺憾的是，迄今為止，人類尚無法揭示觸發智慧“靈感”的真正微觀機理，或許永遠也不可能揭示!

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