我是誰？

我在哪？

今天，小天說起反直覺的數學結論時，超模君像打開了的話匣子一樣，“反直覺，這是我強項嘛！我跟你說......”，邊說還邊翻開墊着水杯的那本書——《數學之旅》！！！

不信你們來看看，以下這10個反直覺的數學結論。

生日悖論

假設房間裡有23人，那麼兩個人生日是同天的概率将大于50%。我們很容易得出，任何一個特定的日子裡某人過生日的概率是1/365。

所以這個理論看似是無法成立，但理論與現實差異正源自于：我們的唯一要求是兩個人彼此擁有同一天生日即可，不限定在特定的一天。

否則，如果換做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那麼23個人中概率便僅為6.12%。

另一方面如果你在有23個人的房間挑選一人問他：“有人和你同一天生日嗎？”答案很可能是否定的。

但如果重複詢問其餘22人，每問一次，你便會有更大機會得到肯定答複，最終這個概率是50.7%。

巴拿赫-塔爾斯基悖論

這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以将一個三維實心球分成有限（不勒貝格可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。

巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數學家認為這僅意味着選擇公理可以導緻少數令人驚訝和反直覺的結果。并且它被許多數學家視作數學中最為反常的一個結果。

在現實生活中我們沒有任何辦法能将一個物體憑空複制成兩個。但事實上他卻是成立的，這個結果似乎挑戰了物理中的質量守恒定律，但似乎又是在說一個物體的質量可以憑空變為原來的兩倍？

但如若原質量是無限的話，翻倍後還是無限大，那麼從這一層面出發來看這一理論也并沒有打破物理法則。

蒙提霍爾問題

三門問題亦稱為蒙提霍爾問題，大緻出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾。

參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門可赢得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。

當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。

問題是：換另一扇門會否增加參賽者赢得汽車的機會率？

如果嚴格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門後是羊，那麼答案是會。不換門的話，赢得汽車的幾率是1/3。換門的話，赢得汽車的幾率是2/3。

這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的讨論。

曾經問過很多人，幾乎所有人都沒有答對，換門的這一答案實在是太過反常識！關于第一個解答這個問題的女士的經曆也十分耐人尋味：關于蒙提霍爾問題，瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在她專欄的回答是改選會更有優勢，這在美國引起了激烈的争議：人們寄來了數千封抱怨信，很多寄信人是科學老師或學者。一位來自佛羅裡達大學的讀者寫道：“這個國家已經有夠多的數學文盲了，我們不想再有個世界上智商最高的人來充數！真讓人羞愧！”另一個人寫道：“我看你就是那隻山羊！”美國陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫道，“如果連博士都要出錯，我看這個國家馬上要陷入嚴重的麻煩了。”但是莎凡特并沒有錯。最後她用整整4個專欄，數百個新聞故事及在小學生課堂模拟的測驗來說服她的讀者她是正确的。遊戲秀的調查數據顯示，那些改選的參賽選手赢的幾率是那些沒有改選的人的兩倍，這證實了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋。

這一課告訴了我們，不要輕信自己的直覺。

巴塞爾問題

将自然數各自平方取倒數加在一起等于π²/6。

一般人都會覺得，左邊這一坨自然數似乎和π（圓的周長與直徑的比值）不會存在任何聯系！然而它就這麼發生了！

阿貝爾不可解定理

我們在中學都學過二次方程，也學過應該怎麼解次數為2的多項式方程 ax² bx c = 0。

但在16世紀，數學家解出了一元三次方程，即ax³ bx² cx d = 0。當然它對應的求根公式稍稍複雜：

看到這裡你應該慶幸中學課本并沒有要求你掌握這個，讓我們再看看求一元四次方程的求根公式，這可更是不得了了：

放心，超模君不會再繼續向你們展示之後的求根公式了。

因為一元五次及以上方程的求根公式并不存在！這裡指的并不是至今還沒有找到它們的求根公式，而是數學家确确實實的證明了它們并不存在。

有不同層次的無窮大

你可能從來想象不到，有一些無窮大比其他的無窮更大。無窮大應該被稱為基數，并且一個無窮大如果比另一個無窮大擁有更大的基數，則說它比另一個無窮大要大。（無窮大的基數總是大于任何一個自然數的基數）

還有許多關于無窮大的基數大大出乎我們的意料。舉一個非常經典的例子：整數比奇數多嗎？你可能會毫不猶豫的回答，那是當然！

因為整數多出了一系列的偶數。但答案是否定的，他們擁有相同的基數，因而整數并不比奇數多。知道了這個道理，就不難回答這個問題了吧：有理數多于整數嗎？不，有理數與整數相同多。

然而康托發現事實上上實數比有理數還要多。實數通常被認為是連續統，并且至今并能完全知道，是否有介于整數基數和連續統基數的無窮大？這個猜想被稱為連續統猜想。

哥德爾不完備定理

我們證明了有一些東西是不能被證明的。

它的邏輯是這樣的：

(1) 任何一個足夠強的系統都存在一個命題，既不能被證明也不能被證僞（例如連續統假設）

(2) 任何一個足夠強的系統都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾

以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。他的意義并不僅僅局限于數學，也給了我們深深地哲學啟迪。

曼德勃羅集

曼德勃羅集是一個複數集，考慮函數f(z)=z² c，c為複常數，在這為參數。

若從z=0開始不斷的利用f(z)進行叠代，則凡是使得叠代結果不會跑向無窮大的c組成的集合被稱為曼德勃羅集。規則不複雜，但你可能沒預料到會得到這麼複雜的圖像。

當你放大曼德勃羅集時，你會又發現無限個小的曼德勃羅集，其中每個又亦是如此...（這種性質是分形所特有的）

這真的很契合那句俗話“大中有大，小中有小”，下面有一個關于放大他的視頻，我想這絕對令人興奮不已。

如果你看了這些視頻後仍然不覺得這些純數學令人感到驚訝，那我也不知說什麼好了。

曼德勃羅集“加百利的号角”與油漆匠悖論

了解微積分的學生或許熟悉，“加百列的号角”是一個體積有限表面積無窮大的物體（用微積分的知識可以清晰地發現這一點）。

而它若在現實中，如果試着去漆上它，則會導緻一些問題。油漆匠佯謬是說，我們可以填滿這個号角（體積有限），但是卻不可能完完全全的漆上它（表面積無限）。

“科赫雪花”是一種奇特的形狀，與上例類似，它具有有限面積無限周長。事實上，第二個提到的曼德勃羅集也具有一樣的性質！

費馬大定理

畢達哥拉斯定理聲稱，對于任何一個直角三角形，都有a² b²=c²。現在假定這些變量都是正整數。那麼顯然有解a=3，b=4，c=5，但是a=1.5，b=2，c=2.5 就不對了，即便它也使得等式成立。可以發現，顯然有無窮多對使得a，b，c都是整數的解。

但如果我們進一步考慮下面的問題呢，有多少對正整數解滿足 a³ b³=c³？

答案是沒有。就算再把指數3換成5也如出一轍，也無解。

事實上，費馬大定理稱，任何指數大于2的上述等式，沒有任何一組正整數。

這個著名的問題在1637年作為猜想提出，花費了将近四個世紀才被解決，最終被安德魯懷爾斯于1995年解決。

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