平行四邊形是初中數學中的一個重要章節,其涉及概念性質、幾何證明等多方面的知識内容。它既是對三角形相關知識的複習與延伸，也是進一步學習其它平面圖形的基礎。而平行四邊形的性質是本章的第一節内容，掌握本節内容的知識要點和學習方法，有利于學習和掌握平行四邊形的判定方法，及特殊平行四邊的性質和判定，學生學好本節内容非常重要。

要學好本節内容需從以下幾方面做起。

一、理解平行四邊形的定義。

兩組對邊分别平行的四邊形叫平行四邊形。

平行四邊形ABCD記作▱ABCD。在表示四邊形時應注意，以一點為起始點，然後沿順時針方向或逆時針方向書向都可以，但不能跳點書寫

如圖:

記作“▱ABCD，它表示兩層含義:

①若AB//CD，AD//BC，則四邊形ABCD為平行四邊形。可用來判斷四邊形是否為平行四邊形

②若已知▱ABCD，則可得AB//CD，AD//BC。可用來說明兩直線平行。

二、掌握平行四邊形性質定理的證明方法:

利用對角線，把四邊形轉化為三角形，利用三角形全等證明。(這種把四邊形轉化為三角形，利用三角形全等證明問題的方法，是平面圖形證明中常用的方法，注意收藏噢！)

例:證明:平行四邊形的對邊相等。

①分析命題:題設平行四邊形，結論對邊相等

②畫出圖形。(圖形隻能畫平行四邊形，對角線BD是添加的輔助線)

③寫出已知和求證。

已知:四邊形ABCD為平行四邊形，求證AB=CD，AD=BC。

④證明:連結BD(添加對角線，轉化為三角形，利用全等三角形證明邊相等)

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD//BC，AB//DC

∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC

又∵AC=AC

∴△ABD≌△CDB

∴AD=BC，AB=DC

用此種方法也可證明四邊形對角相等。

三、牢記平行四邊形的性質。

按照平行四邊形由邊、角、對角線構成來記。

文字語言表述:

1、邊:平行四邊形對邊平行且相等。

2、角:平行四邊形對角相等，鄰角互補。

3、對角線:平行四邊形對角線互相平分。

幾何符号語言表述:

如圖:在▱ABCD中，

①AD//BC，AB//DC。 AD=BC，AB=DC。

②∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC。

∠BAD ∠ABC=180°，∠ABC ∠BCD=180°

③OA=OC，OD=OB。

四、掌握應用平行四邊形性質解決問題的常見題型

1、證明線段相等。

例1、(2018，淮安)已知:如圖，在▱ABCD中，點E，F分别是

AD，BC的中點，求證BE=DF。

證明:∵在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∠A=∠C

又∵點E，F分别是邊AD，BC的中點，

∴AE=1/2AD，CF=1/2BC

∴AE=CF

∴△ABE≌△CDF(SAS)

∴BE=DF。

例2、(2018，福建)如圖，▱ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AD，BC分别相交于E，F。

求證OE=OF。

證明:∵在▱ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，

∴OA=OC，AD//BC

∴∠DAC=∠BCA

∵∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF(SAS)

∴OE=OF

2、證明兩線平行。

例:(2018，臨安區)已知:如圖，點E，F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF，求證

(1)∴△ADF≌△CBE。(2)EB//DF。

證明:(1)∵在平行四邊形ABCD中

AD=BC，AD//BC

∴∠DAF=∠BCE

又∵AE=CF

∴AE EF=CF EF，即AF=CE

∴△ADF≌△CBE

(2)∵△ADF≌△CBE

∴∠AFD=∠CEB

∴EB//DF。

注意:(1)在平行四邊形有關問題中，如果圖中已知有平行四邊形，則可得到該四邊形的對邊平行且相等，對角相等。(2)要證四邊形中的邊或角相等，也經常利用三角形全等來證明。(3)證明一般的兩三角形全等，有四種判定方法。①(邊邊邊)，②(邊角邊)，③(角邊角)，④(角角邊)。

3、求平行四邊形的面積。

平行四邊形的面積=底×這個底邊上的高。

S▱ABCD=AB×DF=BC×DE

例1已知，▱ABCD的對角線AC的長為10cm，∠CAB=30°，AB的長為6cm，求▱ABCD的面積。

解:過點C作CE丄AB，垂足為E。

∵∠CAB=30°，AC=10

∴CE=1/2AC=1/2×10=5

又∵AB=6

∴S▱ABCD=AB×CE=6×5=30

例2、如圖，▱ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC丄AB，AB=2，AC:BD=2:3，求:

(1)AC的長。(2)AOD的面積。

分析:當圖中有直角三角形時，注意用勾股定理求線段的長度。

解:∵▱ABCD的對角線AC，BD交于點O，

∴OA=1/2AC，OB=1/2BD

∵AC:BD=2:3

∴OA:OB=2:3，設OA長為2x，則OB長為3x

∵AC丄AB

∴△BAO為直角三角形

由勾股定理得:OB²－OA²=AB²，又∵AB=2

∴(3x)²－(2x)²=2²

5x²=4，解得x=±2√5/5

AC=2OA=2×2x=4×2√5/5=8√5/5

(2)S▱ABCD=AB×AC=2×8√5/5=16√5/5

S△AOD=1/4S▱ABCD=1/4×16√5/5=4√5/5

4、求圖形中三角形的周長。

例1、(2019，遂甯)如圖，已知▱ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE丄BD交AD于點E，若▱ABCD的周長為28，求△ABE的周長。

解:∵在▱ABCD中，對角線AC，BD相交于點O

∴OB=OD，又∵OE丄BD

∴BE=DE(線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端點的距離相等)

∴三角形ABE的周長=AE BE AB

=AE DE AB=AD AB

∵▱ABCD的周長為28

∴三角形ABE的周長=AD AB=28÷2=14。

5、求線段的取值範圍。

一般根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解答。

例1、若平行四邊形的一邊長為8cm，一條對角線長為6cm，求另一條對角線長的取值範圍

解:如圖，在▱ABCD中，AD=8cm，AC=6cm。

則AO=1/2AC=1/2×6=3cm

在△AOD中，AD－OA<OD<AD OA

∴8－3<OD<8 3，即5<OD<11

∴10cm<BD<22cm。

注意:當已知平行四邊形中有對角線時，常利用①對角線互相平分。②兩條對角線相交所分得的四個小三角形面積相等來解決問題。

如果你理解了平行四邊形的定義，掌握了平行四邊形性質定理的證明方法，牢記了平行四邊形的性質，并能運用性質解決實際問題。那麼平行四邊形的性質一節你就學好了。

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