對反比例函數圖象性質的深入解讀

教材呈現

人教版數學九年級上冊第五章《反比例函數》第2節，反比例函數的圖象與性質中，教材列舉了三個反比例函數y=2/x，y=4/x，y=6/x，要求觀察它們的圖象，發現它們的共同特征（教材第150頁），同時為了引導學生思考，提出了三個問題：

(1)函數圖象分别位于哪個象限内？

(2)在每一個象限内，随着x值的增大，y的值是怎樣變化的？能說明這是為什麼嗎？

(3)反比例函數的圖象可能與x軸相交嗎？可能與y軸相交嗎？為什麼？

課堂反饋

由于在前一節課中，我們練習過如何繪制反比例函數的圖象雙曲線，因此本節課的圖象是學生在練習本上繪制的，之所以沒有采用直接看課本，是為了進一步熟悉雙曲線的特點，動手畫比僅用眼看要深刻。

繪制過程中，為了讓學生方便類比，于是建議在同一個坐标系中畫三對雙曲線，如下圖：

很快，學生能夠觀察出第一個特征：當k>0時，雙曲線在第一、三象限，且關于原點中心對稱，關于y=x軸對稱；緊接着，第二個特征：在每個象限内，y随x的增大而減少，之所以強制在每個象限内，是因為自變量x不為0，第三個特征：雙曲線無限接近坐标軸，這個特征是受問題3啟發，畢竟是否與x軸、y軸相交，屬于圖形直觀。

按照教學要求，探索已經圓滿完成，無論是課程标準中對反比例函數的要求，還是教參上對此部分内容的要求，均已達到。

課程标準要求：

教參第212頁要求：

因此，當學生提出第四個特征的時候，便是對反比例函數圖象的深入理解了，即當k越大，雙曲線離“中間”越遠。

這是一句學生歸納用語，并不十分符合數學語言規範，但是對于這個探索成果，無論如何也不應該否定，因此，需要想辦法對它進行數學加工。

學生的意思是k越大，雙曲線遠離坐标軸，但表述似乎也不對，剛剛探索到的第三條特征中不是說雙曲線無限接近坐标軸嗎？怎麼又遠離呢？而事實上，如果觀察它們，确定一條比一條更“遠”。

我們首先要明确學生的認知範圍，在初中階段，數學上形容遠近，是用距離這個概念，而最初的距離，出現在兩點之間的線段長度，後來的所有和距離有關的概念，無不是建立在兩點之間，例如點到直線的距離，過這一點向直線作垂線段，這點到垂足之間的距離叫點到直線的距離，再例如平行線間的距離，即其中一條直線上的任意點到另一條直線的距離，即使在學習圓之後，點和圓的位置關系時，距離是用點和圓心的距離，等等，基本上，談到距離，最終都會歸結為點與點之間的線段長度。

那麼雙曲線怎麼辦？參照原點還是坐标軸？

正因為雙曲線與坐标軸是無限接近的關系，并不方便描述，因此，我選擇原點為參照，再結合雙曲線關于原點中心對稱，同時也關于y=x軸對稱，将y=x這條對稱軸作出來，如下圖：

當k>0時，y=x與雙曲線y=2/x，y=4/x，y=6/x依次相交于點A、B、C，依然從圖形直觀上觀察，OA<OB<OC，這就和剛才學生的描述意圖接近了。

于是，這條特征可以這樣描述：定義y=x與反比例函數y=k/x(k>0)第一象限内的分支交點到原點的線段長度為雙曲線到原點的距離。此時k越大，雙曲線離原點越遠。

類似的，對于該雙曲線位于第三象限内的描述，依照相同标準，而對于後續的k<0的情況，也适用。

中考真題

2019年湖北省宜昌市中考數學第24題第1小題，正是考察圖形直觀，原題如下：

我們看這道題的第1小題第2個空，當雙曲線y=k/x與正方形ABCD有四個交點，這句話如何理解？

此題圖1中，我們看到了k>0時的一種特殊情況，以此為基準進行動态想像，雙曲線經過點B時，與正方形有在個交點，依據反比例函數圖象第四個特征，當k增大時，雙曲線離原點越來越遠，而題中正方形對角線BD恰好是y=x的一部分，因此，k>0時，隻要k值比經過點B時小即可，所以0<k<4；再考慮k<0時，隻要k值比經過點A（或點C）時更大即可，所以-8<k<0。

雖然在k<0時，并沒有y=-x進行參照，但我們可以作出這條直線，借助雙曲線對稱性進行觀察，如下圖：

教學反思

反比例函數圖象特征，并不一定要拘泥于教材，對于雙曲線離原點距離這一描述，依然屬于反比例函數圖象變化。教材中之所以未對此種圖象特征進行明文歸納，考慮到初中階段學生的理解水平，同時這條性質也比較容易通過幾何直觀得到，所以不作特别要求。

但是在平時教學中，學生面對教師提出的課堂探索要求，多半會有個别人提出來，這時不宜回避，而應該用較為準确的數學語言進行描述。在備課時，也應該充分考慮到教材中所提問題，學生可能的回答。如果僅僅是向學生要求，觀察這三條反比例函數圖象特征，那麼學生思維便不會受太大約束，如果針對教材上三個問題進行提問，便有可能失去探索這一特征的機會。

究竟是提還是不提？

我的答案是根據學情，學生在學習這一章節時，感覺有餘力，那麼在課堂提問時，可以不受教材約束，大膽進行開放拓展，引導學生找到這條特征，如果學生感覺有些吃力，則按照教材要求，先完成基本的圖象性質探索，經過一段時間熟悉後，達到探索要求，再選擇習題進行拓展。

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