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有理數與無理數哪個多為什麼

生活更新时间:2025-01-25 22:47:12

有理數可數的證明：

有理數與無理數哪個多為什麼（為什麼有理數可數無理數不可數）1

有理數與無理數哪個多為什麼（為什麼有理數可數無理數不可數）2

上面方法的證明思路就是，通過把所有的有理數都沒有遺漏地一個個列出來（m/n中先m等于1，n變化，再m=2,n變化，。。。），并去除相同的數字，從而證明有理數确實是可以數出來的。

無理數不可數的證明：

如果無理數可數，則無理數能用正整數編号。

1 0.a11a12a13……

2 0.b11b12b13……

3 0.c11c12c13……

但是我們能找到一個無理數，這個數字十分位與a11的不同，百分位與b12的不同，千分位與c13的不同，等等。于是這個無理數與上面列出來的全不相等，也就是以上數列不可能包含所有的無理數。矛盾。因此無理數是不可數的。

這種方法并不能同樣适用于證明有理數也不可數，因為無法保證找出來的那個數還是有理數。

從而有理數可數，無理數不可數，因此實數也不可數。

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