什麼原因導緻哈勃紅移？是光波随着宇宙的膨脹被“拉長”了，還是因為遙遠的星系遠離我們而産生的光的多普勒頻移？

簡而言之，都是。多普勒頻移解釋是對“拉伸光”解釋的線性近似。從一個視角切換到另一個視角相當于（彎曲的）時空中坐标系的變化。

在深入讨論細節之前，展示兩個坐标系的圖片。左邊的系統對應于多普勒頻移解釋：随着星系逃離我們，它們的徑向坐标增加。右邊的系統稱為共動坐标系：它們與逃逸的星系一起擴展，所以徑向坐标保持不變。

兩個坐标系

詳細的解釋需要看弗裡德曼-羅伯森-沃克（FRW）的時空模型。著名的“膨脹氣球散布星系”提供了一個視覺類比；就像任何類比一樣，隻看表面它會誤導你，但認真理解能得到一些深刻的領悟。

直接在氣球上繪制坐标系。它們定義了共動坐标（在圖片的右邊）。想象一下兩個斑點（“星系”）嵌入在橡膠表面。散斑的運動坐标随氣球的膨脹而變化，但散斑之間的距離卻不斷增大。在共動坐标系中，我們說斑點不移動，但“空間本身”在它們之間伸展。

例如，一個蟲子開始從一個斑點爬到另一個斑點。在第一隻蟲子離開一秒後，它兄弟開始跟着它移動。（把蟲子想象成兩個光脈沖，或者一束光中連續的波峰）顯然蟲子之間的間隔會在它們的旅行中增加。在共動坐标系中，光在其旅程中被“拉伸”。

現在我們切換到圖片左邊的坐标系，這個坐标系隻在一個鄰域内有效（但是足夠覆蓋兩個散斑）。想象一個幹淨、柔韌、無拉伸的貼片，在一個斑點處貼在氣球上。貼片貼在氣球表面，當氣球膨脹時，氣球會在貼片下面滑動。（蟲子在貼片下面爬行）我們在貼片上畫出坐标系。在貼片坐标系（我稱之為貼片坐标系）中，第二個斑點離第一個斑點逐漸遠去。所以在貼片坐标系中，我們可以把紅移看作是多普勒頻移。

這在視覺上有吸引力嗎？我認為是這樣。但這個解釋忽略了一個關鍵點：時間坐标。FRW時空完整地配備了一個特殊的時間坐标（稱為共動或宇宙學時間）。例如，一個共同運動的觀測者可以通過周圍散斑的平均密度或宇宙背景輻射的溫度來設置時鐘。（從純數學的觀點來看，共動時間坐标是由某種對稱性決定的）。

GR為我們提供了一個可以選擇的無限時間坐标，但是讓我們來看看宇宙學時間。注意，這不是狹義相對論中通常的選擇：盡管兩個散斑快速分離，但它們的宇宙學時鐘保持同步。與通常的SR圖像不同的是一個更深層次的事實：除了氣球表面明顯的“空間”曲率外，FRW時空也有“時間”曲率。事實上，并不是所有的FRW時空都具有空間曲率，但（有一個例外）都具有時間曲率。

讓我詳細說明一下。在貼片坐标系中，蟲子（光脈沖）參與了所謂的哈勃流：蟲子以速度c相對于氣球表面移動，所以以速度c v相對于貼片移動，v是氣球表面相對于貼片的速度。當然v會随着距離變化，但是根據哈勃定律，在距離r處，v=Hr 。現在如果蟲子朝着貼片移動而不是遠離貼片，他們在貼片坐标系中的速度應該是c-v而不是c v。可以說，它們将逆流而上與膨脹的流動空間作鬥争。更不巧的是，光速在貼片坐标系中是各向異性的。

讓我們用這兩種方法計算紅移的程度。首先用多普勒頻移的方法，如前文所述，這是一個近似方法，僅當以下兩個假設成立時适用。第一，斑點必須足夠近，以至于它們不會快速地遠離彼此；第二，在光波從一個斑點傳播到另一個的時候哈勃“常數”H不能變化太多。

先來讨論一個蟲子（換言之，一個波峰）在宇宙學時間t_0時刻出發，第二個蟲子在t_0 ∆t時跟上。所以周期為∆t（我們假設∆t很小）。我們使用的是一個坐标貼片，其中第一個散斑不移動，而兩個散斑都使用宇宙學時間，因此我們使用固定源、移動接收器的多普勒公式的标準非相對論推導是合适的。假設第一個蟲子在t_1時刻到達“移動的”散斑，徑向坐标為r。第二個蟲子在t_1 ∆t時刻穿過相同的坐标線（或者說到達r）。此時，散斑移動到了r Hr∆t處。因此第二個蟲子必須以相對速度c（散斑和蟲子都由哈勃流攜帶）彌補附加分離量Hr∆t，所以到達散斑的時間不同：

∆t Hr∆t/c

所以周期增加了Hr∆t/c。而光波的波長與其周期成正比。設λ為初始的光波長，∆λ為波長的變化，并設z=∆λ/λ（标準符号）。有：

z=∆λ/λ=(Hr∆t/c)/∆t=Hr/c

（有一點值得讨論：以上假設了周期∆t在傳播過程中不變，我們并沒有假設在蟲子之間的距離中傳播的波長不變，事實上也沒有。但是周期∆t确實變化了，因為我們假設哈勃常數H不變。）

“拉伸”的理論更簡單。在這裡，徑向坐标記為r_1，不變。距離在宇宙學時間t時為r=R（t）r_1，距離改變了。這裡的R（t）為膨脹系數，更多關于R如何随着時間t變化的細節在FRW模型中。現在需要的就是R和H的關系。顯然，退行速率是（dR/dt）r_1，并且由哈勃定律可知，它等于HR（t）r_1（退行速率和距離成正比），r_1消去有：

H=(dR/dt)/R

我們假設在t=t_0時初始波長為λ；經過一段時間到達了第二個散斑，它被拉伸了(R(t_1))/R(t_0 ) .所以

z=∆λ/λ=(R(t_1))/R(t_0 ) -1=(R(t_1 )-R(t_0 ))/R(t_0 )

但是根據通常的微積分極限，R(t_1 )-R(t_0 )≈（dR(t_0 )/dt）(t_1-t_0).對時間的估計是依據距離除以速度，t_1-t_0=(R(t_0)r_1)/c=r/c

所以，z≈(dR(t_0 )/dt r/c)/R(t_0 ) =Hr/c

這裡再強調這個公式不适用于大的紅移，在大紅移中哈勃常數H會發生很大的變化。

參考資料

1.Wikipedia百科全書

2.天文學名詞

3. math- Misner

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