小升初集訓系列

第四單元 圓柱和圓錐

　一、認識圓柱、圓柱的組成部分

圓柱的特征:

(1)圓柱的上、下兩個面都是圓形的,大小相同,叫做底面。

(2)圓柱周圍的面是曲面,我們叫它側面。

(3)圓柱兩底之間的距離叫做高,一個圓柱有無數條高,它們都相等。

二、圓柱的側面以及側面積的求法

1.圓柱的側面展開圖及其形狀:

(1)沿着高展開,展開圖是長方形,長方形的長等于圓柱的底面周長,長方形的寬等于圓柱的高;當底面周長和高相等時(h=2πr),側面展開圖為正方形。

(2)如果不沿着高展開,展開圖形是平行四邊形或不規則圖形。

(3)無論如何展開都得不到梯形。

2.圓柱的側面展開後各個部分與圓柱的關系:

展開後長方形的長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高。

3.圓柱的側面積=底面的周長×高,即S側=Ch=πd×h=2πr×h。

三、圓柱的表面積的計算

1.圓柱的側面積加上兩個底面的面積就是圓柱的表面積。

2.圓柱的表面積=2×底面積 側面積,即S表=S側 S底×2=2πr×h 2πr²。

3.圓柱的切割引起表面積的變化:

(1)橫切:切面是圓,表面積增加2個底面積,即S增=2πr²。

(2)豎切(過直徑):切面是長方形(如果h=2r,切面為正方形),該長方形的長是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個長方形的面積,即S增=4rh。

四、圓柱表面積的計算在實際生活中的應用

在實際生活中,有時需要計算圓柱的表面積,如制作水桶時,不要上底面;制作圓柱形通風管時,不需要兩個底面,這時需要計算圓柱的側面積。

五、圓柱的體積以及計算公式的推導和應用

1.圓柱的體積:圓柱所占空間的大小,叫做這個圓柱的體積。

V柱=Sh=πr2h。

2.不規則物體體積的計算。

如計算左圖這樣的不規則圖形的體積時,一般将兩個完全一樣的圖形拼成一個圓柱,求出圓柱的體積後,再除以2。

4.計算空心圓柱的體積時,一般用底面圓環的面積乘高來計算。

　　六、容積的意義

容器的容積:容器所能容納物體的多少叫做容器的容積。

七、容積與體積的區别

1.意義不同:體積是指物體所占空間的大小。容積是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容納物體的大小(即内部體積)。

2.度量方法不同:計算體積時是從物體的外面去測量。例如:計算用玻璃做成的長方體魚缸的體積,就要從外面去分别測量出長方體魚缸的長、寬、高;如果要計算這個長方體魚缸的容積(或容量),就必須從魚缸的裡面去測量,因為做魚缸的玻璃是有一定厚度的。

3.計量單位不同:計算物體的體積,必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計算容積一般使用容積單位“升、毫升”;但計算較大物體的容積時,也拿體積單位“立方米”來通用,因為升和毫升隻限于計量液體,如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。

八、容積的計算、運用容積的計算解決問題

1.容積的計算:計算容器的容積時,要從裡面測量圓柱形容器的底面直徑和高。

2.計算容器的容積的方法一般采用計算體積的方法來計算。

　　3.不規則物體的體積或容積的計算:利用轉化思想,化不規則圖形為規則圖形。

九、圓錐的認識、圓錐體積的計算

1.圓錐的認識:

(1)底面:圓錐的底面是一個圓。

(2)側面:圓錐的側面是一個曲面,展開圖是扇形。

(3)高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高,圓錐隻有一條高。

2.圓錐的體積:一個圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的三分之一，。根據圓柱體積公式V=Sh(V=πr2h),得出圓錐體積公式:V=SH/3

4.圓柱與圓錐的關系:

(1)與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

(2)體積和高都相等的圓錐與圓柱,圓錐的底面積是圓柱的3倍。

5.計算組合圖形的體積時,一般先分别求出基本圖形的體積,再相加求和。

十、運用圓柱、圓錐的體積計算解決簡單的實際問題

1.運用圓錐的體積解決簡單的實際問題時要注意單位的統一。

2.解答有關等積變形問題時,一般利用數學的轉化思想,抓住體積不變,形狀改變來計算。

十一、木材加工問題

1.求圓木的體積可以根據“圓柱的體積=底面積×高”來計算。

2.橫截面是正方形的木材叫做方木,方木的體積=2r2h。

典型案例分析：

1、大廳裡有5根柱子,每根柱子的底面周長是25.12分米,高是9分米。如果每立方米需要混凝土380元,這5根柱子共需要混凝土多少元?最後需要把柱子刷油漆，每平方分米油漆需要0.8元，那麼漆5根柱子共需要油漆費多少元？

解析：混凝土澆築成柱子，是求圓柱體的體積，

3.14×(25.12÷3.14÷2)²×9=452.16(立方分米)

452.16×5×380÷1000≈859.104(元)

需要把柱子刷油漆，是求圓柱體的側面積。

25.12×9=226.08(平方分米)

226.08×0.8×5=904.32(元)

備注：實際應用中，一定要具體情況具體分析，題目要求的是面積還是體積。

(3)一個長方體容器,底面長3分米,寬1.5分米,放入一個底面半徑1分米的圓錐形鐵塊後,水面升高了0.3分米,這個鐵塊的高是多少分米?

解析：水中圓錐體的體積就是長3分米,寬1.5分米高0.3分米的長方體的體積。接着已知圓錐體體積和底面積求高。

3×1.5×0.3=1.35立方分米

1.35×3÷（3.14×1²）≈1.29分米

拓展思考：

一根圓柱形木料，如果截成兩個小圓柱，它的表面積就增加628平方厘米;如果沿着直徑劈成兩個半圓柱體，它的表面積就增加240平方厘米。求圓柱形木料的表面積。

解析：圓柱體的底面積：628÷2=314平方厘米

因此推出圓柱體底面半徑：S底=πr²。r=1厘米

豎切(過直徑):切面是長方形，該長方形的長是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個長方形的面積 h=240÷2÷（2×1）=60厘米

側面積=2×3.14×1×60=376.8平方厘米

圓柱體表面積:376.8 314×2=1004.8平方厘米。

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