函數的單調性，高考數學考綱對這個考點提出要求是：

理解函數單調性定義，并利用函數單調性的定義判斷或證明函數在給定區間的單調性；

會判斷複合函數的單調性。

同時要學會将函數的性質與函數的概念、圖象等進行綜合，這一直是曆年高考數學的重點和熱點之一。

函數的單調區間是函數定義域的子區間，所以求解函數的單調區間，必須先求出函數的定義域。對于基本初等函數的單調區間可以直接利用已知結論求解，如二次函數、對數函數、指數函數等；如果是複合函數，應根據複合函數的單調性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數的單調性，再根據“同則增，異則減”的法則求解函數的單調區間。

求函數的單調區間的常用方法：

1、利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或複合函數，求單調區間；

2、定義法：先求定義域，再利用單調性定義；

3、圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區間；

4、導數法：利用導數的正負确定函數的單調區間。

典型例題分析1：

定義在（0， ∞）上的函數f（x），總有f′（x）＞f（x） ex﹣lnx成立，且f（2）=e2﹣2，則不等式f（x）≥ex﹣2的解集為　 　．

考點分析：

利用導數研究函數的單調性．

題幹分析：

由題意構造輔助函數g（x）=ex﹣lnx﹣2，求導，g′（x）＜0，函數單調遞減，g′（x）＞0，函數單調遞增，求得g（x）的最小值，再構造輔助函數h（x）=[f（x） 2]/ex，求導，求得h′（x）≥0，h（x）在（0， ∞）上遞增，即f（x）≥ex﹣2，由f（2）=e2﹣2，得h（x）≥h（2），即可求得不等式的解集．

​典型例題分析2：

已知函數f（x）=ex（其中e是自然數的底數），g（x）=x2 ax 1，a∈R．

（1）記函數F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的單調增區間；

（2）若對任意x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求實數a的取值範圍．

解：（1）y=f（x）•g（x）=（x2 ax 1）•ex，

∴F'（x）=[x2 （a 2）x （a 1）]ex，

令F'（x）=0，則x2 （a 2）x （a 1）=0，

即[x （a 1）]（x 1）=0，解得x=﹣1，或x=﹣a﹣1

∵a＞0，∴﹣a﹣1＜﹣1，

∵x∈[﹣a﹣1，﹣1]時，

y'＜0，x∈（﹣∞，﹣a﹣1）和（﹣1， ∞）時，y'＞0，

∴函數F（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣a﹣1）和（﹣1， ∞），

（2）設x1＜x2，因為f（x）=ex在[0，2]單調遞增，

故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）

在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，

所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）

在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，

考點分析：

利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．

題幹分析：

（1）求出函數的導數，即可求函數f（x）的單調區間；

（2）設x1＜x2，因為g（x）=ex在[0，2]單調遞增，故原不等式等價于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，當a≥﹣（ex 2x）恒成立時，a≥﹣1；當a≤ex﹣2x恒成立時，a≤2﹣2ln2，綜合讨論結果，可得實數a的取值範圍．

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