淺談大膽猜想與合情推理

文/小希

在傳統如何在數學教學中，我們比較習慣于通過嚴格的推理證明得出結論，這其實是一種演繹推理，然而，另外的一種推理方法也很重要，那就是合情推理，也可以叫猜想，數學中有很多問題，我們很難通過嚴格的推理得出結論，這個時候我們就要根據我們的數學直覺，去大膽的猜想問題的結論是什麼，然後，在想辦法去證明它，通過這種猜想可以有效的培養學生的創新能力和創新意識，也是學生探索新事物常用的思維方法，這樣可以極大的促進學生思維能力的培養，尤其是學生可持續發展潛力的挖掘。反思傳統的數學教學，我們應該鼓勵學生插上想象的翅膀，大膽的去猜想，大膽的去嘗試，這樣，學生的創新能力才會得到充分的提高。

大膽猜想：數學思辨活動的關鍵一步

猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的材料知識作出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維方法。人們認識事物是一個複雜的過程，往往需要經曆若幹階段才逐漸從現象認識到事物的本質。開始隻能根據已有的部分事實及結果，運用某種判斷推理的思維方法，對某類事實和規律提出一種推測性的看法。這種推測性的看法就是猜想。因此，數學猜想就是指依據某些已知事實和數學知識，對未知量及其關系所作出的一種似真推斷。

現代認知理論認為，學習是主體主動的意義建構活動，是主體在頭腦裡建立和發展數學認知結構的過程，是數學活動及其經驗内化的過程。因此，猜想是在建構活動中，主體的數學認知結構對當前面臨的新知識、新問題進行的預測性的重組、整合的過程，它使外部知識與内部創造的不平衡達到暫時的平衡。鑒于此，筆者進一步認為：猜想是對抽象化的、形式化的數學材料進行思辨的建構活動。思辨中缺少了猜想（有些猜想人們無法意識到，或者說達到了自動化），數學材料就不能形成主體的心理意義，從而造成意義建構失敗。所以，猜想是構建數學認知結構時，主體思辨活動的關鍵一步。從另一側面，猜想能促進知識的同化和順應的進行，加速知識的發生和遷移。同時，猜想既有一定的科學性，又有一定的假定性，這一層面上又反映出猜想思維的敏捷性、靈活性以及批判性。

值得指出的是，數學猜想和數學演繹并不是對立的。在數學演繹中蘊含着猜想，而猜想又應以演繹為前提和後行的。猜想是一種合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成，是一種創造性的思維活動。它既是科學發現的先導，也是實現問題解決的一種重要手段。

大膽猜想：生動活潑，妙想天開

猜想是數學發展的動力。數學猜想不但促進了數學理論的發展，而且也促進了數學方法論的研究。我們知道，一個學科隻有大量的問題提出，才能使它永葆青春。正因為曆史上有諸如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等猜想的提出，數學科學才發展為今天壯觀的現代數學。

猜想的誕生就預示着數學發現，如非歐幾何的發現。倘若要把數學學習與數學發現聯系起來的話，那麼就必須給學生提供一些解決問題的機會，讓他們對一些适合自己水平的數學事實先進行猜想，然後再補行證明。以下例子，一方面以小見大，闡明猜想是充滿生機的心智活動；另一方面說明初等數學中處處有猜想，隻要教師善于挖掘，學生能于捕捉。

例１. 圓的面積公式

分析：課本中是用定理的形式把

“直塞”給學生。同時用内接正多邊形面積“逼近”的思想權作直觀解釋。這種解釋能讓學生動手嗎？既然已用了“逼近”思想，依據化生為熟的原則，何不引導學生猜想化圓為“方”呢？（如下圖）

[Ⅰ] [Ⅱ] [Ⅲ]

[Ⅲ]是一個近似平行四邊形。能拼成近似三角形嗎？近似梯形呢？（對[Ⅱ]再細分）這些近似圖形的面積是多少？（注意，圓的周長公式已知）從直觀圖形的演變，推導面積公式，讓學生感受到猜想的妙趣，又學會了一種化歸思想。（在推導球的體積公式時，近似小錐體也是這樣的“兔子”）

例２. m×n(行×列)的矩形棋盤街的走法數（棋盤街規定隻能向右或向下走）

分析：經曆“試驗――分析――猜想――驗證”的思維過程。如下所示

試驗性猜想→ 數字特征發現楊輝三角（聯想）→ 構造性猜想（旋轉、拓展、驗證）

例３. 已知如圖，在直三棱柱ABC-A`B`C`中，BC`⊥A`C，BC`⊥AB`，求證：△ABC等腰三角形

分析：此題的難點是确定 △ABC的底邊，這必須靠猜想。猜想①：BC為底邊，理由是BC`同時與A`C和AB`垂直；猜想②：若加上條件A`C⊥AB`，則 △ABC為正三角形；猜想③：有A`C⊥AB`時，此三棱柱可“旋轉”，理由是直三棱柱，且AB`、BC`、CA`具有垂直的輪換性，直覺此三棱柱沿上、下底面的（假設的）中心連線旋轉120°時“垂直”重合。

通過猜想③肯定②，從而肯定①。由分析可知，猜想為難點找到了突破口，而且得到猜想③以及證明的途徑。隻有自由的思想才會這樣輕松猜想。激活學生思維的火花時，讓學生猜想吧！給學生“說”和“做”的機會。

另外，我們清醒地注意到數學高考對猜想能力的考查日趨加深，如1998年數學高考試題（理）25題、1999年的（理）23題等，而且内容上已跳出了數列範圍，考查的形式也是多樣的。這從另一側面反映出猜想能力的重要性，以及培養的必要性。

大膽猜想：分類和實現途徑

上海師大胡炯濤^［２］先生把猜想分為如下五種基本形式：①探索性猜想；②歸納性猜想；③類比性猜想；④試驗性猜想;⑤構造性猜想。浙江師大任樟輝^［３］先生把猜想分為如下五種形式：①類比性猜想；②歸納性猜想；③探索性猜想；④仿造性猜想；⑤審美性猜想。從猜想的命名可知，他們的分類依據是實現數學猜想的途徑和方法。由于實現猜想的途徑和方法具有多樣性和不定性，這就造成了以上分類的局限性和狹隘性。另外，猜想作為人類賴于生存的思維方法，它的分類就應反映猜想的思維特性。基于以上考慮，筆者把猜想分為如下兩類：

i）線性猜想：即直線性猜想，是指猜想的結論或解題途徑唯一，是依靠形象材料（如式的特征、圖形的性質）的意識得到對材料的猜想，思維清晰。單向性是其明顯的特征。這種猜想往往具有直接感悟的成分。如例１的直覺構造性猜想，例４的類比、歸納性猜想。

ⅱ）非線性猜想：即猜想是點狀發散的，點是猜想的依據，發散是多端的，聯想異常豐富。當然并非所有的端點都是可行的、合理的，它需要主體的合理選擇，因而充滿試驗性、探索性，具有演繹的痕迹。

上述例子表面上看來都是線性猜想，其實不然，如例１中也可猜想為近似三角形、梯形等，隻是限于篇幅，筆者有心割愛。事實上，猜想的發生過程是開放的，當主體的知識越豐富，分析越全面，猜想就越是多端的（即非線性猜想），突出地表現在一題多解之中。進一步，當主體的數學知識組塊、數學形象直感、塊狀思維達到一定水平時，猜想就能以高度省略、簡約、濃縮的方式洞察到問題實質，此時的猜想就很難轉換成“慢鏡頭”。

從另一側面看，線性猜想具有盲目性、無選擇性，而非線性猜想即是具有較成熟的、選擇性強的猜想。非線性猜想要求的知識面無疑較廣。一般學生的猜想都是較極端的線性猜想，因而我們應緻力于培養學生的非線性猜想，提高其分析能力，提高猜想的合理性、有效性。

至于猜想的實現途徑，以上分析中已提到，它們可能是探索試驗、類比、歸納、構造、聯想、審美以及它們之間的組合等。數學猜想是有一定規律的，如類比的規律、歸納的規律等，并且要以數學知識和經驗為支柱。實施猜想前，請記住“在證明一個數學問題之前,你先得猜想這個問題的内容；在你完全作出詳細證明之前，你先得猜想證明的思路”。^［４］

猜想：走進數學課堂

筆者在此談論猜想，并不是要取消“邏輯證明、演繹推理”，而是針對當前數學課堂中“重形式淡過程、重知識淡能力、重證明淡猜想”的教學弊端，竭力要讓猜想占有适當的位置，使猜想走進數學課堂。那麼，我們該做點什麼呢？

1.建立一支會猜想的科研型教師隊伍。很難想象，一位既不懂猜想也不會猜想的教師能培養出具有高水平猜想能力的學生。教猜想必須懂猜想、會猜想。基于這樣的認識，我們的數學教師應具備較高的猜想能力，懂得現代教育心理理論，大膽地猜想和教猜想，同時密切關注學生的思維發展狀況，摸索猜想規律，總結經驗，并在理論上加以探索、論證。

2.探索培養學生猜想能力的數學教學模式。數學教學必須注重知識的發生過程，但真正能做到展示知識的生動發生過程的，惟有讓學生參與猜想。要真正體現學生的主體性，就必須使學生的認知過程是一個再創造的過程，教學中必須滲透“猜想＋證明”的發現問題和解決問題的科學思維。數學教師必須發揮自己的聰明才智，總結當前好的教學模式，探索出符合培養猜想能力的教學模式。如張思明先生探索的“導學探索、自主解決”^［５］教學模式，就體現出猜想的勃勃生機。

3.加強方法論意義上的以猜想為内核的學法指導。拉卡托斯指出：樸素的猜想構成了數學發現的邏輯實際出發點。從某種意義上可以斷言，沒有猜想和證明就沒有數學。因此，應教會學生怎樣猜想，如引導他們怎樣整合材料、提出疑問，又如何猜想結果或問題解決的途徑；介紹各種實現猜想的途徑、步驟、規律、方法；共同研究猜想途徑的合理性和有效性等。

4.營造寬松的、良好的猜想氛圍。教師不必去限制學生思維的疆域，鼓勵學生積極思考，不迷信已有結論，不滿足現成解答，大膽猜想，不斷開拓。教師應随時點燃學生猜想的導火線，甚至教師本身直接成為學生猜想的導火線。猜想合理的進行鼓勵，猜想偏向的進行引導，不猜想的進行鞭策，讓猜想“訪問”每一位學生，使學生的被動的猜想行為轉變成自覺的猜想行為，師生共同構建數學猜想共同體。

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