2020中考數學貼心輔導每日一題（30）
2019年江西中考數學第19題
如圖1，AB為半圓的直徑，點O為圓心，AF為半圓的切線，過半圓上的點C作CD∥AB交AF于點D，連接BC．
（1）連接DO，若BC∥OD，求證：CD是半圓的切線；
（2）如圖2，當線段CD與半圓交于點E時，連接AE，AC，判斷∠AED和∠ACD的數量關系，并證明你的結論．
（1）
分析
這道題太經典了.一般地，若要證明過圓上某點的直線是圓的切線，可以先嘗試連接這點與圓心.
如答圖1，連接OC．
∵CD∥AB，且BC∥OD，
∴四邊形BODC是平行四邊形．
∴CD＝OB＝OA．
∵CD∥OA．
∴四邊形OADC是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
∵AD是切線，
∴∠OAD＝90º
（圓的切線垂直于過切點的半徑）.
∴∠OCD＝∠OAD＝90º
（平行四邊形的對角相等）．
∴CD是切線(經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)．
（2）如答圖2，連接BE．
∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠OAD=90º．
∴∠EAD＋∠AED＝90º．
∵AB是直徑，
∴∠BEA＝90º．
∴∠ABE＋∠EAB＝90º．
又∵EAB ∠EAD=90º,
∴∠ABE=∠EAD(同角的餘角相等).
又∵∠ABE＝∠ACD(同弧所對的圓周角相等)，
∴∠ACD＋∠AED＝90º（等量代換）．
評析
第（2）小題屬于結論開放型,這種題目在中考中時有出現.
解題的關鍵是證明∠EAD=∠ACE,實際上就是證明弦切角定理——弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
題外話
在舊教材中，弦切角定理是一條非常重要的定理.新教材删去了有關“弦切角”的内容，應該是為了減輕學生的負擔吧！這道題實際上是要求考生證明弦切角定理，這合适嗎？
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