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矩陣的秩到底有什麼意義

圖文更新时间:2024-07-21 03:13:44

矩陣的秩(rang）的概念是由德國數學家Frobenius在1879年提出的概念，rang是德語，意思是：等級，階層；為什麼翻譯成秩呢？秩在中文中的意思：本義，根據功過确定的官員俸祿；引申義，根據功過評定的官員品級；所以矩陣中的秩取等級的意思，而不同矩陣的秩有大小，就相當矩陣有等級的高低。

怎麼表達矩陣的等級呢？隻能取矩陣中起決定性作用的構成單元做代表，其餘枝枝葉葉都統統去掉，還原矩陣最根本的組成單元，其它的枝枝葉葉都可以使用這個基本單元演化而來。秩的求取就是去僞求真的過程。

秩對應的矩陣是一個矩陣中最基本的組成單元，其它的行或者列可以由這個基本單元中的行或者列通過簡單的加減乘除運算得到，也就是隻有這個基本單元包含了這個矩陣的最根本的信息，其它的信息又可以由此派生出來。

矩陣的秩到底有什麼意義（矩陣的秩就是矩陣的等級）1

比如我們在計算機儲存數據的時候，我們知道了矩陣的秩---基本單元，其它的行我們就不用單獨儲存數據了，有基本單元通過簡單的計算公式得出，節約了大量儲存空間和計算時間。

我們計算矩陣的秩就是尋找最基本的單元，以尋找矩陣的等級大小。比如矩陣A是100行100列的矩陣，A的秩是C，是10行10列；矩陣B是1000行100列的矩陣，B的秩是D，也是10行10列；那麼矩陣C和矩陣D是同一階層的矩陣，他們需要的儲存空間相同，那麼他們本源矩陣A和本源矩陣B，雖然數據量相差很大，但是他們隻需要相同的儲存空間就行了。

矩陣的秩到底有什麼意義（矩陣的秩就是矩陣的等級）2

拿方程組做例子，就是帶有信息的方程組，消去沒有信息的方程組。例如下面方程組一，經過整理，也是需要秩的過程，化簡成方程組二，方程組二中能提供有價值信息的隻有兩個方程，就是這個方程的秩。

矩陣的秩到底有什麼意義（矩陣的秩就是矩陣的等級）3

矩陣的秩到底有什麼意義（矩陣的秩就是矩陣的等級）4

當然也可以把矩陣的秩的幾何意義理解為這個矩陣的維度，如果矩陣的秩是三維的，那就是平面，說明這個矩陣隻能表示立體，因為矩陣的其它行或者列都是矩陣秩的行或列通過加減乘除運算得來的，這些加減乘除運算就是線性運算，不會改變矩陣的維度，不管怎麼增加矩陣的行和列的數量，還是三維矩陣，都是在一個立體内操作。

矩陣的秩到底有什麼意義（矩陣的秩就是矩陣的等級）5

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