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高中數學等差數列及性質

教育 更新时间:2024-11-21 01:31:11

高中數學等差數列及性質（等比數列判定方法）1

一、定義法

根據等比數列的定義，判斷

高中數學等差數列及性質（等比數列判定方法）2

或

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是一個與無關的常數．

例1 如果是等差數列，則數列

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（

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為常數，且

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）一定是等比數列；如果是等比數列，且

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，則數列

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（為常數，，且

高中數學等差數列及性質（等比數列判定方法）9

）一定是等差數列，你能證明嗎？

證明：若為等差數列，則有

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，并且

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（

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為常數），

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（常數），

故數列為等比數列．

同理，為等比數列，且時，

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，

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（常數），

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，

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數列是公差為

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的等差數列．

二、等比中項法

對于各項均不為零的數列，若對于任意大于1的正整數都有

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，則可判定數列為等比數列．

例2 已知

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，其中

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依次成等差數列，且公差不為零，判斷

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是否成等比數列？

解：設等差數列的公差為

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，則

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，

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，

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，

代入，

可得

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．

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，

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．

又

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，故成等比數列．

三、通項公式法

為等比數列

高中數學等差數列及性質（等比數列判定方法）31

．

例3 已知是各項均為正數的等差數列，

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，

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，

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成等差數列，又

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，

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．判斷是否為等比數列？

解：

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成等差數列，

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，即

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．

又設等差數列的公差為，

則

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，即

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．

當

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時，是一個各項均為正數的常數列，

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是等比數列；當

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時，

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，

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，

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．

故是首項為

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，公比為

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的等比數列．

四、遞推公式法

例4 根據如圖所示的框圖，寫出所打印數列的前5項，并建立數列的遞推公式．問：這個數列是等比數列嗎？

分析：先求出前5項值，然後通過遞推性質确定其通項公式．

解：若将打印出來的數依次記為

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（即

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），

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，

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，

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．

由圖可知，

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，

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，

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，

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．

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于是可得遞推公式

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由于

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，因此這個數列是等比數列，

其通項公式是

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．

五、前項和公式法

在數列中，前項和為

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，若

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，則為等比數列．

例5 已知數列的前項和為

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（

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是不為0的實數），則

Ａ．一定是等比數列

Ｂ．一定是等差數列

Ｃ．是等差數列或是等比數列

Ｄ．既不可能是等差數列，也不可能是等比數列

解：當

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時，的各項都為0，這個數列是等差數列，但不是等比數列；當

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時，由知，是等比數列，但不是等差數列，故先Ｃ．

六、反例法

若判斷一個數列不是等比數列，則反例法顯得更簡單．

例6 設，是公比不相等的兩個等比數列，

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，證明數列不是等比數列．

解：設，的公比分别為

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．

為證不是等比數列隻需證

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．

事實上，

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，

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．

由于

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，

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，又

高中數學等差數列及性質（等比數列判定方法）76

不為零，因此，故不是等比數列．

注意：有些試題常常需要由一個特别說明一個命題是錯誤的，但應當注意一個特例不能說明命題是正确的．

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