一、定義法
根據等比數列的定義,判斷
或
是一個與無關的常數.
例1 如果是等差數列,則數列
證明:若為等差數列,則有
(常數),
故數列為等比數列.
同理,為等比數列,且時,
,
二、等比中項法
對于各項均不為零的數列,若對于任意大于1的正整數都有
例2 已知
解:設等差數列的公差為
代入,
可得
又
三、通項公式法
為等比數列
例3 已知是各項均為正數的等差數列,
解:
又設等差數列的公差為,
則
當
.
故是首項為
,公比為
的等比數列.
四、遞推公式法
例4 根據如圖所示的框圖,寫出所打印數列的前5項,并建立數列的遞推公式.問:這個數列是等比數列嗎?
分析:先求出前5項值,然後通過遞推性質确定其通項公式.
解:若将打印出來的數依次記為
由圖可知,
,
,
,
.
于是可得遞推公式
由于
,因此這個數列是等比數列,
其通項公式是
.
五、前項和公式法
在數列中,前項和為
例5 已知數列的前項和為
A.一定是等比數列
B.一定是等差數列
C.是等差數列或是等比數列
D.既不可能是等差數列,也不可能是等比數列
解:當
六、反例法
若判斷一個數列不是等比數列,則反例法顯得更簡單.
例6 設,是公比不相等的兩個等比數列,
解:設,的公比分别為
為證不是等比數列隻需證
事實上,
由于
注意:有些試題常常需要由一個特别說明一個命題是錯誤的,但應當注意一個特例不能說明命題是正确的.
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