費馬大定理簡介：當整數n > 2時，關于x, y, z的不定方程　x^n y^n = z^n. （ (x , y)

= (x , z) = (y , z) = 1［n是一個奇素數］x>0,y>0,z>0）無整數解。

這個定理，本來又稱費馬最後定理，由17世紀法國數學家費馬提出，而當時人們稱之為“定理”，并不是真的相信費馬已經證明了它。雖然費馬宣稱他已找到一個絕妙證明，但經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒于1995年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正确證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特别獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

數學大師懷爾斯北大演講

1637年，費馬在閱讀丢番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“将一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次幂分成兩個四次幂之和，或者一般地将一個高于二次的幂分成兩個同次幂之和，這是不可能的。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的内容，推動了數論的發展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但數學家對一般情況在首二百年内仍一籌莫展。

1983年，en:Gerd Faltings證明了Mordell猜測，從而得出當n > 2時（n為整數），隻存在有限組互質的a,b,c使得a^n b^n = c*n。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n b^n = c^n，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線y^2 = x(x - a^n)(x b^n) 會是谷山-志村猜想的一個反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關系。

1：1676年數學家根據費馬的少量提示用無窮遞降法證明n＝4。

2：1678年和1738年德國數學家萊布尼茲和瑞士數學家歐拉也各自證明n＝4。1770年歐拉證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。

3：1823年和1825年法國數學家勒讓德和德國數學家狄利克雷先後證明n ＝5。用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

4：1832年狄利克雷試圖證明n＝7，卻隻證明了n＝14。

5：1839年，法國數學家拉梅證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合的很緊密的巧妙工具，隻是難以推廣到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。随後得到法國數學家勒貝格的簡化……19世紀貢獻最大的是德國數學家庫麥爾，他從1844年起花費20多年時間，創立了理想數理論，為代數數論奠下基礎；

:6：庫默爾在1844年提出了“理想數”概念，他證明了：對于所有小于100的素指數n（除37、59、67三數外），費馬大定理成立，此一研究告一階段。

7：勒貝格提交了一個證明，但因有漏洞，被否決。

8：1900年，希爾伯特提出尚未解決的23個問題時雖未将費馬大定理列入，卻把它作為一個在解決中不斷産生新理論新方法的典型例證。據說希爾伯特還宣稱自己能夠證明，但他認為問題一旦解決，有益的副産品将不再産生。“我應更加注意，不要殺掉這隻經常為我們生出金蛋的母雞。”

9：為推進費馬大定理的證明，布魯塞爾和巴黎科學院數次設獎。1908年德國數學家佛爾夫斯克爾臨終在哥廷根皇家科學會懸賞10萬馬克，并充分考慮到證明的艱巨性，将期限定為100年。數學迷們對此趨之若鹜，紛紛把“證明”寄給數學家，期望憑短短幾頁初等變換奪取桂冠。德國數學家蘭道印制了一批明信片由學生填寫：“親愛的先生或女士：您對費馬大定理的證明已經收到，現予退回，第一個錯誤出現在第＿頁第＿行。” 在解決問題的過程中，數學家們不但利用了廣博精深的數學知識，還創造了許多新理論新方法，對數學發展的貢獻難以估量。 數學家就是這樣緩慢而執着地向前邁進，直至1955年證明n＜4002。

10：大型計算機的出現推進了證明速度，1976年德國數學家瓦格斯塔夫證明n＜125000，1985年美國數學家羅瑟證明n＜41000000。但數學是嚴謹的科學，n值再大依然有限，從有限到無窮的距離漫長而遙遠。

11：1955年，日本數學家谷山豐提出過一個屬于代數幾何範疇的谷山猜想。猜測橢圓曲線于另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在着某種聯系；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精确化而形成了所謂“谷山——志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。

12：1983年，年僅29歲的德國數學家法爾廷斯證明了代數幾何中的莫德爾猜想：x的平方 y的平方=1這樣的方程至多有有限個有理數解。為此在第20屆國際數學家大會上榮獲菲爾茨獎（此獎相當于數學界的諾貝爾獎，隻授予40歲以下的青年數學家）。莫德爾猜想有一個直接推論：對于形如x^n y^n=z^n（n≥4）的方程至多隻有有限多組整數解。這對費馬大定理的證明是一個有益的突破。從“有限多組”到“一組沒有”還有很大差距，但從無限到有限已前進了一大步。

13：1985年，德國數學家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“費馬大定理”之間的關系；他提出了一個命題 ：假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數A,B,C,使得A的n次方 B的n次方=C的n次方（n>2),那麼用這組數構造出的形如y的平方=x(x A的n次方）乘以（x-B的n次方）的橢圓曲線，不可能是模曲線。盡管他努力了，但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同時證明這兩個命題，根據反證法就可以知道“費馬大定理”不成立，這一假定是錯誤的，從而就證明了“費馬大定理”。但當時他沒有嚴格證明他的命題。

随後德國數學家佩爾提出佩爾猜想，補足了弗雷觀點的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩爾猜想都被證明，費馬大定理不證自明。 事隔一載，美國加利福尼亞大學伯克利分校數學家裡比特證明了佩爾猜想。

14：1986年，美國數學家裡貝特證明了弗雷命題，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。

15：1991年對費馬大定理指數n<1,000,000費馬大定理已被證明, 但對指數n>1,000,000沒有被證明. 已成為世界數學難題。

安德魯·懷爾斯

16：1993年6月，英國數學家安德魯·懷爾斯證明了：對有理數域上的一大類橢圓曲線，“谷山——志村猜想”成立。由于他在報告中表明了弗雷曲線恰好屬于他所說的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終證明了“費馬大定理” 。

1993年6月，英國數學家、美國普林斯頓大學教授安德魯·懷爾斯在劍橋大學牛頓數學研究所舉行了一系列代數幾何學術講演。在6月23日最後一次講演《橢圓曲線、模型式和伽羅瓦表示》中，懷爾斯部分證明了谷山猜想。所謂部分證明，是指懷爾斯證明了谷山猜想對于半穩定的橢圓曲線成立——謝天謝地，與費馬大定理相關的那條橢圓曲線恰好是半穩定的！這時在座60多位知名數學家意識到，困擾數學界三個半世紀的費馬大定理被證明了！這一消息成為世界頭條。在講演後不胫而走，許多大學都舉行了遊行和狂歡，在芝加哥甚至出動了警察上街維持秩序。

但專家對他的證明審察發現有漏洞，于是，懷爾斯又經過了一年多的拼搏，于1994年9月20日上午11時徹底圓滿證明了“費馬大定理” 。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山-志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯抛棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的數學年刊（en:Annals of Mathematics）之上。

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