進入中學後，數系擴大到有理數，随着負數的引入，相反數和絕對值進入課本也就順理成章了。絕對值是中學數學的一個重要概念，也是七年級的學習難點之一。下面我們來談談絕對值的定義和化簡，以及相關例題的精解。

小學數學和具體的數打交道，進入中學後開始接觸用字母代替數。這不僅增加了一層抽象程度，還讓一些同學感覺不适應。

初一(14)班的小李同學問小王：“－a是負數嗎？”

小王回答說：“是負數，因為a前面有個－号。”

旁邊的小張說：“不一定是負數，因為字母a可以是任何數，如果a是負數的話，那麼－a就是正數了，所以－a是負數或正數。”

另一旁的小楊插話了，他說：“如果a是零呢？”

大家“啊！”地一聲，小李激動了，大聲說：“－a到底是什麼數？怎麼回答？”大家議論紛紛。

班上的數學科代表小周站起來，他慢條斯理地說：“其實－a到底是什麼數，大家辯論得差不多了，隻是如何準确地表達的問題。”

如果用文字語言來回答，應該是：

當a為正數時，－a為負數；

當a為負數時，－a為正數；

當a為0時，－a為0。

如果用數學符号語言來表述，則是：

當a>0時，－a<0；

當a<0時，－a>0；

當a=0時，－a=0.

小周的總結非常正确。小周在這裡使用了“窮舉法”。所謂窮舉法，就是在讨論一個問題時，把所有可能的情況都一一列舉出來，一個不重，一個不漏，然後對各種情況逐一分析，去掉不合條件的，留下符合條件的，最後作出結論。這是一種重要的數學思想方法——分類讨論的思想方法。這種思想方法貫穿于初中、高中和大學的學習當中，希望同學們能引起足夠的重視。

在一次數學測驗中，試卷裡有這樣一道填空題：若|a|=－a，則a____0.

小李同學填的是“<”号，即a<0.評卷的老師在這個答案的後面打了一個“✘”，并扣了分。卷子發下來，小李同學一看，認為是老師批改錯了，就去找數學陳老師，說：

圖一

圖二

這是絕對值的定義，寫得明明白白，a<0時，

|a|=－a，我怎麼會錯呢？

數學陳老師說：這兩個公式都沒錯，是絕對值的定義。絕對值記作|a|，這個公式，即|a|的表達式，符合一個不重，一個不漏的原則，但是用起來卻很容易出差錯。

由|a|=－a，應該得出a≤0，因為a=0也符合條件，如果隻得出a<0，就漏掉了一個a=0，當然是不對的。這個知識點，有一次全國初中數學競賽還考過。同理，由|a|=a，應該得出a≥0，而不是a>0.

但是，如果絕對值這樣定義：

圖三

又是不合理的！為什麼不合理？因為a=0重複了兩次！違反了“不重不漏”的原則。

總結：老師的批改沒有錯。我們應從小李同學的錯誤答案中吸取教訓，答題時應該認真、細緻、全面地考慮問題。

讓我們再重溫一下絕對值的定義。

圖一和圖二是三分支和兩分支表述的代數定義。

也請同學們理解：

若|a|=a，則a≥0，

若|a|=－a，則a≤0.

用文字語言定義：

正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

絕對值的幾何定義：在數軸上表示一個數的點到原點的距離，叫做這個數的絕對值。

上面關于絕對值的定義蘊含着下面幾個重要的結論：

（1）任何有理數的絕對值都是非負數，即

|a|≥0；

（2）兩個絕對值相等的數，它們或者相等，或者互為相反數，即|a|=|b|，那麼a=b或a=－b；

（3）一個數的絕對值是它本身，這個數必定是非負數，即如果若|a|=a，那麼a≥0；

一個數的絕對值是它的相反數，這個數必定是非正數，即如果|a|=－a，那麼a≤0.

（4）絕對值為0的數，隻有0自身。即如果|a|=0，那麼a=0.

這些結論在解決與絕對值有關的問題時，非常有用。

其實，上面說的絕對值的概念和定義，已經包含了絕對值化簡的方法。

在去掉絕對值符号時，我們需要判斷是否變号。舉個例子：

|a－b|=a－b，（a－b）≥0；

|a－b|=－(a－b)=b－a，（a－b）<0.

遇到絕對值符合裡面有字母的時候，一定要分類讨論，非負性是絕對值的重要性質，所以在去掉絕對值符号時，要保證每一個絕對值都不是負數。下面請看例題：

計算|1－a| |2a 1| |a|的值(其中a<－2)。

∵|1－a|=1－a>0；

|2a 1|=－(2a 1)>0；

|a|=－a>0.

∴原式=1－a－2a－1－a

=－4a.

把題目改一下，去掉a<－2的限制，你還會不會做呢？

題目雖然變複雜了，但是牢記絕對值的非負性，完全可以做對。解題思路是先分類讨論，再綜合在一起得到答案。

具體解法是先求出使絕對值等于0的a值，即找零點，幾個零點把數軸分為幾段再分類讨論。這就是零點分段法。最後再綜合起來寫出答案。

本題有3個零點，它們是－1/2，0，1。

∵當a<－1/2時，原式=1－a－(2a 1)－a

=1－a－2a－1－a=－4a

當－1/2≤a<0時，原式=1－a 2a 1－a

=2；

當0≤a<1時，原式=1－a 2a 1 a

=2a 2；

當a≥1時，原式=a－1 2a 1 a

=4a.

∴

運用題設中的隐含條件

例1 已知：|x－2| x－2=0，求：x 2的最大值。

因為|x-2| x－2=0，所以|x－2|=－(x－2)，根據絕對值的概念，一個數的絕對值等于它的相反數時，這個數為負數或零，所以x－2≤0，即x≤2，這表示x的最大值為2，所以x 2的最大值為4。

利用數軸獲取信息

例2 有理數a，b、c在數軸上的位置如圖1所示，化簡|a| |b| |a b| |b－c|式子。

圖一

觀察數軸可知a<0，c>b>0，且|c|>|b|>|a|，則a b>0，b－c<0， 所以

原式=－a b a b－b c=b c

最後一道難題

遇到難題的慌張

例3 化簡||x-1|-2| |x 1|

這道題有點難，有的同學完全不會做。

有句話叫“難者不會，會者不難”。

明朝數學家程大位說過：“難者，難也。然似難而實非難也。……，其難題唯在乎立法，立法既明，則迎刃而破，又何難之有哉。”

找到解題方法，就不難了。

題目有三個絕對值，先确定零點值，再用零點分段法分類讨論。雙層絕對值就分步驟去絕對值符号。

題目有三個零點，即－1，1，3，這三個點把數軸分為四段，分段讨論。

解：

(1)當X<－1時，

原式=|1－x－2|－X－1

=|－X－1|－X－1

=－X－1－X－1

=－2X－2

(2)當1>X ≥－1時，

原式=|1-X-2| X 1

=|-X-1| X 1

=X 1 X 1

=2X 2

(3)當3>X≥1時，

原式=|X-1-2| X 1

=|X-3| X 1

=3-X X 1

=4

(4)當X≥3時，

原式=|X-1-2| X 1

=|X-3| X 1

=X-3 X 1

=2X-2

綜上所述，絕對值在初中數學中有着重要地位，貫穿于整個初中代數、幾何的各個角落。絕對值是重要的數學基礎知識，蘊含了豐富的數學思想和方法，如數形結合思想、化歸思想、分類讨論思想等，應當引起足夠的重視。

下次我們談談絕對值的幾何意義，敬請期待。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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