2016年4月8日在英國上映了一部名叫《知無涯者》的電影。電影講述了印度數學家斯裡尼瓦瑟·拉馬努金（1887.12.22~1920.4.26），

短暫而傳奇的一生。拉馬努金出生貧寒，沒有受過專門的數學訓練，但天資聰穎，完全靠自學。直到1913年，得到英國數學家哈代的賞識，他的數學才華大放異彩。但他不同于傳統意義上數學家，他的成果往往是憑直覺得到，隻有結論，而沒有證明。他短暫的一生發現了3900條數學公式和命題，許多結果完全是新穎的、原始的和非傳統的，但被後續證明他的結論都是正确的。

本文要介紹的這個恒等式，就是拉馬努金流傳最廣的成果之一。先看這個恒等式的一邊：

我相信大多數人能按照這個式子的規律接着寫下去，但會發現這是無窮盡的，并且很好奇這個式子的結果到底是多少？

拉馬努金說，這個式子的結果等于3。

他對形如上式的無窮二次根式，進行深入研究得到這個結果，并且将此發表在《印度數學會刊》上征集證明，數月内無人能應。

下面我們以今天中學生的認知來看其中的數學邏輯：

3=√9。。。。。一層根号

=√1 8

=√1 2x4

=√1 2√16。。。。二層根号

=√1 2√1 15

=√1 2√1 3x5

=√1 2√1 3√25。。三層根号

=√1 2√1 3√1 24

=√1 2√1 3√1 4x6

=√1 2√1 3√1 4√36。四層根号

。。。。。。

由此不難發現：将3拆分後，含n層根号時，3=

√1 2√1 。。。n√（n 2）²

。。。n層根号

驗證一下，n=10時（由外向内數，含10層根号），壯觀景象：

第10層根号裡的數：

12²=144；

第9層根号裡的數：

11²=121；

第8層根号裡的數：

10²=100；

。。。

第3層根号裡的數：

5²=25；

第2層根号裡的數：

4²=144；

第1層根号裡的數：

3²=9；

√9=3

理所當然是個恒等式。

問題來了，正整數3可以象這樣用二次根式進行無窮拆分，那麼其他正整數呢？他是怎麼想到了呢？

平方差公式是初中代數中的最基本的公式之一：

a²-1=(a-1)(a 1)；

變形得

a²=1 (a-1)(a 1)；

即

a=√1 (a-1)(a 1)。

建立一個關于a的函數：

F（a）=a=√1 (a-1)(a 1)，則

F（a 1）=a 1

=√1 (a 1-1)(a 1 1)

=√1 a(a 2)

=√1 aF(a 2)，

F（a 2）=a 2

=√1 (a 2-1)(a 2 1)

=√1 (a 1)(a 3)

=√1 (a 1)F(a 3),

F（a 3）=a 3

=√1 (a 3-1)(a 3 1)

=√1 (a 2)(a 4)

=√1 (a 2)F(a 4)，

...

F（a n）=a n

=√1 (a n-1)(a n 1)

=√1 (a n-1)F(a n 1)，

...

通過層層嵌套，得到

F(a)=√1 (a-1)F(a 1)

=√1 (a-1)√1 aF(a 2)

=√1 (a-1)√1 a√1 (a 1)F(a 3)

...

=√1 (a-1)√1 a√1 (a 1)√1 (a 2)√1 。。。

即

其中，a為正整數。

當a=2時，得到

當a=3時，得到

當a=4時，得到

由此，可以把任意一個正整數，用二次根式有規律地無窮展開。

所以拉馬努金恒等式，更一般的形式是：

利用平方差公式和函數嵌套（複合函數）的思想，可以來說明他的正确性。雖然初中不提函數嵌套（複合函數）這種說法，但“整體思想”已經具備其雛形，所以上述證明過程，數學程度稍好的同學也可以看懂。

拉馬努金沒有受過正規的高等數學教育，但他靠自學沉湎于數論，尤其鐘愛涉及π、質數等數學常數的求和公式和整數分拆。特别是他對數的直覺（數感）常常令人稱奇，以至于亦師亦友的哈代感歎說：“我們學習數學，拉馬努金則發現并創造了數學。”

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