最近我在追一位美國寶藏數學老師Steve Wyborney的博客和教學視頻。這位老師是我在臉書的一個美國數學老師群裡發現的，挖了一下背景後才知道，原來他不止獲過很多獎項，還是個響當當的數學網紅，從學前班到5、6年級的老師、家長，都對他的教學方法贊口不絕。

我看了一部分他的教學視頻， 發現這位老師最顯著的特點是，他特别擅長把“數”和“形”結合起來，讓孩子看到、摸到真實世界中數字的幾何表達，從而培養孩子的“數感”。

比如他用積木方塊給出這樣一個圖形，讓孩子回答方塊的數量：

對于一個能數數，或者會簡單加法、乘法的孩子來說，這并不困難，稍微觀察思考一下，就能給出答案：27。

不過，答案不是他所追求的。他希望孩子能從盡量多的視角去觀察，給出不同的思路，從不同的角度去感受和體會：“27”這個數字可以怎麼來構成，每一種構成方法，在現實空間中對應了怎樣的幾何圖形。

比如，可以對四周的方塊進行拆分，整個圖形就等于4個2*3的方塊（黃色部分），再加上中間1*3的方塊（藍色部分），于是，27 = 2*3 2*3 2*3 2*3 1*3 =（2*3）* 4 3 ：

或者，把圖形從前到後拆分成三層，每一層有9個方塊，于是，27 = 9 9 9 = 9*3：

又或者，把圖形“攔腰”分割，黃色部分是3*5的方塊，上下分别是2*3的方塊，所以，27 = 3*5 （2*3）*2：

Steve Wyborney給很多數學老師做過講座，分享他自己的教學方法。比如談到怎麼教學生乘法，一種方法是想辦法把“3*8=24”、“7*3=21”、“6*7=42”這些“知識”直接存進孩子的大腦裡，類似于我們小時候的背乘法表。

但更好的方法，是把“數”和“形”結合起來，讓孩子用積木方塊去對應和感受“6*7=42”在真實世界中的意義，它可以有很多種表示方式：

你看，把抽象的“數”和真實世界裡的“形”對應起來後，孩子就能很直觀、很深刻地理解乘法的含義。這樣，當孩子想到6*7時，腦海裡不是很“惰性”地蹦出“42”這麼一個抽象的數字，而是能靈活地進行拆分、合并。而且你發現沒有，在這個過程中，他們已經不斷地在實踐、感受和應用乘法的分配律、交換律和結合律了，盡管他們可能還根本不知道有這些公式。

6 * 7 = 7 * 6 （交換律）

6 * 7 = 6 * 2 6 * 5 （分配律）

6 * 7 = 3 * 7 3 * 7 = （3 * 2） * 7 = 2 * 7 2 * 7 2 * 7 = 3 * （2 * 7） （結合律）

Steve Wyborney說，有些家長以為，畫方格、搭積木的方法隻是在很低齡的“數數”、“簡單加減運算”階段适用，其實，當孩子開始深入學習四則運算，要理解更複雜的運算公式時，更需要通過和實物對應的方式，讓孩子理解數字之間的關系，并且能夠靈活利用、轉換這些關系，才能獲得真正的“數感”。

這讓我突然想起幾年前學習蒙特梭利的一些心得。

之前和大家分享過，逃逃剛來美國時，我曾經花了一段時間去學習蒙特梭利的教育理念和方法。當時完全是抱着“偷師”的心态，因為我發現美國的蒙氏幼兒園特别多，而且不僅有蒙氏幼兒園，還有蒙氏小學和中學，口碑都不錯。家長圈流傳着一個說法，從蒙氏出來的孩子數學普遍都比較好，尤其到了小學中高年級後，更能看出差距。

所以那段時間我挖了不少蒙氏的教學“内幕”，讀了不少相關書籍，還參加了他們的一些講座和培訓課。

印象最深的一點，正好和Steve Wyborney老師所強調的很吻合，蒙氏也特别擅長用“數形結合”的方法，來培養孩子的“數感”。

比如用這樣的“紅藍豎棒”，讓孩子直接去觸摸10以内的數字和加法：

用這種十個一串的“Bead Bars”讓孩子理解“十進制”。視覺和觸覺的直接感受，讓幼兒園的小朋友也能輕松理解十、百、千和對比它們之間的關系：

其中，不同大小、形狀的積木塊，是蒙氏最常用的數學教具，幾乎貫徹了整個學前和小學階段。

比如孩子會發現，用2塊、4塊、6塊積木都能拼出一個矩形，但用3塊、5塊就不行，從而體會到“偶數”和“奇數”的差異。

孩子還會發現，6個積木能分成2個同樣長的，也能分成3個同樣長的；而5個、7個積木卻做不到。從這些嘗試中，孩子能體會到合數和質數、因數和倍數...盡管他們還未必了解這些概念，但已經在真實世界裡演練過很多遍了。

再比如，9個方塊能達成一個正方形，因為它是個平方數；8個方塊能搭出一個立方體，因為它是一個立方數：

即便到一些比較複雜的概念和公式，孩子依然可以從“數”和“形”的對應中獲得最直觀的感受。

比如勾股定理，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（a² b²=c²）。孩子可以用積木塊拼出下面三個正方形，然後将兩個小正方形的方塊重新組合，發現正好和大正方形一樣（3² 4²= 9 16 = 25）。自己動手“實踐”出來的定理，理解很深刻，不但不容易忘，在實際運用時也更靈活。

在小學低年級階段，大多數孩子的數學是拉不開差距的，但越往上走，“數形結合”的基礎打得越紮實，孩子的“數感”越強，就越發能顯現優勢了。

比如遇到這樣的“數列求和”問題：

1 3 5 7 9 … (2n-1)

學霸會仔細觀察數列的特點，找到“首尾相加，乘以項數的一半”的思路。

1 3 5 7 9 … (2n-1) = （1 2n-1）* n / 2 = n²

但“學神”級别的，往往會另辟蹊徑。TA可能一眼就把這個數列所對應的真實幾何表示給看出來了。

第一項，1，就是一個正方形積木方塊（下圖中的紅色）；

下一項，3，就相當于原先的正方形外面多一個“L”形（下圖中的綠色）；

再下一項，5，就再多加一層“L”（下圖中的紫色）；

每次新加的一層“L”，都比上一個“L”多2個積木方塊，恰好就是數列中的下一項。

當腦海裡呈現出這個圖形，答案其實就已經擺在那兒了：

1開始的n個奇數的數列求和，其實就是在算一個邊長為n的正方形的面積。

答案顯而易見：n²。

記得讀中學那會兒，班上就有一位這樣的“學神”，我自認為已經是數學學霸了，但人家做起卷子來就是更快更準。有時覺得他的方法實在很妙，去恭維兩句吧，他卻擺出一副驚訝且“欠扁”的表情“啊？！這不是很自然就能想到的嗎？”

所以啊，我們常說“學神”高不可攀，就是因為TA可能具備了其他同學沒有的，一些自然而然的“感覺”。

這種感覺，在語文領域是“語感”，你還在撓頭抓耳地琢磨“總分總”時，人家行雲流水的大作已經一氣呵成了；

在數學領域就是“數感”，你還在苦哈哈地計算，人家已經“降維打擊”地想到了更簡便、更不容易出錯的方法。

EASTWEST

“數”和“形”是數學最基本的兩大要素，前者抽象，後者具象。對于數學學習來說，隻有将抽象的數和具象的形結合起來，讓孩子體會到數字、公式、定理在真實空間中的含義，才能真正理解數學的本質。

并且，越學到後面，孩子就越能靈活地在“數”和“形”之間靈活轉換，上面提到的學神解法，是用“形”去解答“數”的問題；而到了中學，孩子接觸笛卡爾“直角坐标系”後，則是用“數”的方法去解答有關“形”的難題。

所以，無論是前面提到的網紅數學老師，還是蒙氏教育的精髓，他們都非常注重孩子“數形結合”的能力。

另外，有一個關鍵點我剛才還沒有提，就是他們的另一個共同點——慢。

Steve Wyborney老師的教學視頻裡，會多次提醒孩子，“現在你可以按下暫停鍵停下來，慢慢想一想”，我數了一下，有時一個幾分鐘的視頻裡，他就會這樣提醒十多次。

蒙氏大家應該有所聽聞，混齡制，一個班上孩子的年齡差别最大的可能有3-4歲。所以在蒙氏的課堂上，老師幾乎不會統一講課，而是讓他們按照自己的節奏去完成一項又一項的“工作”。非必要情況，老師不會打擾孩子，而是讓他們在“工作”中去慢慢去體會，比如上面提到的，用積木教具去理解和感受一些數學概念和公式。

關于“慢”這一點，我體會挺深的，和大家多掰幾句。逃逃現在已經上初一了，回頭看他之前的學習，有些地方我們曾經也走的稍稍有點兒急。

記得幾年前我們有次暑假回國時，順便給逃逃報了個線上數學班，因為他特别喜歡數學。課程内容挺好，老師講的也不錯。幾次課後，老師還微信我，表揚逃逃課堂積極，作業完成得也很棒。但他卻跟我抱怨，說老師講得太快，不是聽不懂的快，而是讓他沒有“成就感”的快。

比如老師出了一道題，還沒等他想個七七八八，就已經開始講解題思路和方法了。一節課下來，他的确學到了很多題型的解答方法，也能照着這些方法去完成作業，但卻沒有“尋找出這些方法”的樂趣和成就感。

我很慶幸他能自己發現這一點，如果單看課堂表現、作業、測驗結果的話，家長是很難發現孩子的這種感受并及時調整的，學習中少了琢磨和思考的樂趣，久而久之，孩子可能對數學真就不那麼感興趣，這就虧大了。

這幾年教育節奏越來越快，周圍還時不時冒出些學前就把小學學完，小學把中學學完的“别人家的牛娃”，把氛圍搞得越來越焦慮，但絕大多數正常孩子的智力進化其實并沒那麼快......

所有要培養“感覺”的東西，都不可能一觸而就，要靠慢慢地積累，慢慢去體會。語感，靠一首一首詩背出來，一本一本書讀出來。數感，也是在每一次“數”和“形”的對應中，琢磨出來的。迅速學到的，是技能，是方法，而慢慢體會到的，積累的，才是“感覺”。

不是你有否同感？

PS：Steve Wyborney老師的教學視頻我還沒給大家搬回來，一來是我自己都還沒全部追完，需要再深究整理；二來因為是全英文的講解，也擔心對孩子有難度。我想，大家get到了他的“數形結合”的教學思想，在日常陪娃中就已經有啟發和幫助了。

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