函數周期對稱性公式-tft每日頭條

函數周期對稱性公式

圖文更新时间:2024-08-07 19:05:36

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）1

在講授習題課時，遇到這樣一道函數圖像題：

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）2

這道題本身沒有什麼難度，抽象函數問題，我們隻需借助題中條件畫出函數的圖像，借助于單調性來完成，現将解析分享：

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）3

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）4

就像剛才提到的，這道題本身比較簡單，小編在講授這道題的時候，瞬間想到，之前我們有提到過雙對稱函數一定是周期函數，并且給出了相應的結論和證明，而這道題中已知函數的周期性以及中心對稱，我們得到了函數的軸對稱，是不是這類函數都有這般的性質，以及在數值上是否仍滿足之前提到的關系：【參考2016年4月20日的公衆号文章《雙對稱性函數的周期性》】

周期是相鄰兩條對稱軸之間距離的2倍，是相鄰兩個對稱中心之間距離的2倍，是對稱中心與相鄰對稱軸之間距離的4倍。

接下來，我們直接利用一般情況來證明：

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）5

但是我們由函數的周期性以及中心對稱性無法得到軸對稱的性質，同樣由函數的周期性以及軸對稱性無法得到中心對稱的性質，實際上，我們觀察一下兩個我們熟悉的三角函數函數圖像：

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）6

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）7

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）8

那麼什麼樣的周期函數若有對稱中心，一定有對稱軸呢，反之也成立呢？我們觀察我們最先遇到的題型就會發現，題目中給出的函數周期形式的說法不同。

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）9

函數周期對稱性公式（周期函數的對稱性）10

最後再總結一下：

我們已經知道：雙對稱函數一定是周期函數，最小正周期是相鄰對稱軸之間距離的二倍；是相鄰對稱中心之間距離的二倍；是對稱中心與相鄰對稱軸之間距離的四倍。

反過來，如果一個周期函數有對稱中心，則對稱中心以周期的一半循環出現；如果有對稱軸，則對稱軸以周期的一半循環出現。

特别的，如果周期函數每隔半個周期互為相反數，則存在對稱中心，一定存在對稱軸，相鄰的間隔周期的四分之一；同樣若存在對稱軸，一定存在對稱中心，相鄰的間隔周期的四分之一。

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