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函數周期對稱性公式

圖文 更新时间:2024-12-24 21:41:50

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)1

在講授習題課時,遇到這樣一道函數圖像題:

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)2

這道題本身沒有什麼難度,抽象函數問題,我們隻需借助題中條件畫出函數的圖像,借助于單調性來完成,現将解析分享:

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)3

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)4

就像剛才提到的,這道題本身比較簡單,小編在講授這道題的時候,瞬間想到,之前我們有提到過雙對稱函數一定是周期函數,并且給出了相應的結論和證明,而這道題中已知函數的周期性以及中心對稱,我們得到了函數的軸對稱,是不是這類函數都有這般的性質,以及在數值上是否仍滿足之前提到的關系:【參考2016年4月20日的公衆号文章《雙對稱性函數的周期性》】

周期是相鄰兩條對稱軸之間距離的2倍,是相鄰兩個對稱中心之間距離的2倍,是對稱中心與相鄰對稱軸之間距離的4倍。

接下來,我們直接利用一般情況來證明:

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)5

但是我們由函數的周期性以及中心對稱性無法得到軸對稱的性質,同樣由函數的周期性以及軸對稱性無法得到中心對稱的性質,實際上,我們觀察一下兩個我們熟悉的三角函數函數圖像:

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)6

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)7

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)8

那麼什麼樣的周期函數若有對稱中心,一定有對稱軸呢,反之也成立呢?我們觀察我們最先遇到的題型就會發現,題目中給出的函數周期形式的說法不同。

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)9

函數周期對稱性公式(周期函數的對稱性)10

最後再總結一下:

我們已經知道:雙對稱函數一定是周期函數,最小正周期是相鄰對稱軸之間距離的二倍;是相鄰對稱中心之間距離的二倍;是對稱中心與相鄰對稱軸之間距離的四倍。

反過來,如果一個周期函數有對稱中心,則對稱中心以周期的一半循環出現;如果有對稱軸,則對稱軸以周期的一半循環出現。

特别的,如果周期函數每隔半個周期互為相反數,則存在對稱中心,一定存在對稱軸,相鄰的間隔周期的四分之一;同樣若存在對稱軸,一定存在對稱中心,相鄰的間隔周期的四分之一。

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